专题限时集训(十二)[第12讲点、直线、平面之间的位置关系](时间:45分钟)1.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列命题中正确的是()A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αB.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥mC.若m⊥α,n⊥α,则m∥nD.若l⊥m,l⊥n,则n∥m2.已知a、b、c为三条不重合的直线,下面有三个结论:①若a⊥b,a⊥c则b∥c;②若a⊥b,a⊥c则b⊥c;③若a∥b,b⊥c则a⊥c.其中正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个3.如图12-1,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()图12-1A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C14.图12-2是某个正方体的侧面展开图,l1、l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2()图12-2A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为D.相交且夹角为5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中的假命题是()A.若m⊥α,m⊥β,则α∥βB.若m∥n,m⊥α,则n⊥αC.若m∥α,α∩β=n,则m∥nD.若m⊥α,m⊂β,则α⊥β6.在空间中,给出下面四个命题:①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直;②若平面外两点到平面的距离相等,则过两点的直线必平行于该平面;③垂直于同一条直线的两条直线互相平行;④若两个平面互相垂直,则一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④7.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB,CC1的距离相等的点的个数为()A.2B.3C.4D.58.如图12-3,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()图12-3A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°9.如图12-4,四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A,其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形.则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中,互相垂直的异面直线共有________对.图12-410.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,有下列四个命题:①若l⊥α,m⊂α,则l⊥m;②若l⊥α,l∥m,则m⊥α;③若l∥α,m⊂α,则l∥m;④若l∥α,m∥α,则l∥m.则其中命题正确的是________.11.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D为直二面角,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为________.12.如图12-5所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,平面ABC1⊥平面A1ACC1,又∠AA1C1=∠BAC1=60°,AC1与A1C相交于点O.(1)求证:BO⊥平面A1ACC1;(2)求AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值.图12-513.如图12-6,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中O点在线段DE内.(1)求证:CO⊥平面ABED;(2)问∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?图12-614.如图12-7,四边形ABCD为正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=2,EF=1.(1)求证:BC⊥AF;(2)若点M在线段AC上,且满足CM=CA,求证:EM∥平面FBC;(3)试判断直线AF与平面EBC是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.图12-7专题限时集训(十二)【基础演练】1.C[解析]m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,需要m∩n=A才有l⊥α,A错误.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,l与m可能平行、相交、也可能异面,B错误.若l⊥m,l⊥n,l与m可能平行、相交、也可能异面,D错误.2.B[解析]①不对,b,c可能异面;②不对,b,c可能平行;平行移动直线不改变这条直线与其他直线的夹角,故③对,选B.3.D[解析]由于A1C1⊥B1D1,根据正方体特征可得BB1⊥A1C1,故A1C1⊥平面BB1D1D,B1O⊂平面BB1D1D,所以B1O⊥A1C1.4.D[解析]把展开图还原,则l1,l2是正方体中位于同一个顶点处的两个面的面对角线,故一定相交且夹角为.【提升训练】5.C[解析]垂直同一直线的平面平行,选项A中的命题正确;两平行线中一条垂直一个平面,另一条也垂直这个平面,选项B中的命题正确;选项C中的命题不正确;由面面垂直的判定定理知选项D中的命题正确.6.D[解析]由性质可知①是正确的;对于②,过两点的直线可能与平面相交,所以②错误;对...