1第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:21)()(DxxgDxxfy3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加()；若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少()；若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加()；若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1)4.对数函数：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X22.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:Aynnlim称数列ny以常数A为极限;或称数列ny收敛于A.定理:若ny的极限存在ny必定有界.2.函数的极限：⑴当x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim⑵当0xx时，)(xf的极限：Axfxx)(lim0左极限：Axfxx)(lim0右极限：Axfxx)(lim0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。X再某个变化过程是指：,,,xxx000,,xxxxxx2．无穷小量：0)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim0)(limxfxfxf4．无穷小量的比较：0lim,0lim⑴若0lim,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若clim（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；⑷若lim,则称β是比α较低阶的无穷小量3定理：若：；，2211~~则：2121limlim㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：设：nnnzxy（n=1、2、3⋯）且：azynnnnlimlim则：axnnlim2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：)()()(xhxfxg且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00则：Axfxx)(lim0㈣极限的运算规则若：BxvAxu)(lim,)(lim则：①BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[②BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[③BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)((limxv推论：①)]()()(lim[21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21xuxuxun②)(lim)](lim[xucxuc③nnxuxu)]([lim)](lim[㈤两个重要极限1．1sinlim0xxx或1)()(sinlim0)(xxx2．exxx)11(limexxx10)1(lim§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性1.函数在0x处连续：)(xf在0x的邻域内有定义，1o0)]()([limlim0000xfxxfyxx2o)()(lim00xfxfxx左连续：)()(lim00xfxfxx右连续：)()(lim00xfxfxx2.函数在0x处连续的必要条件：定理：)(xf在0x处连续)(xf在0x处极限存在43.函数在0x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx4.函数在ba,上连续：)(xf在ba,上每一点都连续。在端点a和b连续是指：)()(limafxfax左端点右连续；)()(limbfxfbx右端点左连续。a+0b-x5.函数的间断点：若)(xf在0x处不连续，则0x为)(xf的间断点。间断点有三种情况：1o)(xf在0x处无定义；2o)(lim0xfxx不存在；3o)(xf在0x处有定义，且)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx都存在。可去间断点：)(lim0xfxx存在，但5)()(lim00xfxfxx，或)(xf在0x处无定义。2o第二类间断点：特点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx至少有一个为∞，或)(lim0xfxx振荡不存在。无穷间断点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx至少有一个为∞㈡函数在0x处连续的性质1.连...
