数列通项与求和一．求数列通项公式1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）例．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式．答案：35nan2．公式法：已知nS（即12()naaafnL）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnanaSSn例．设正整数数列{}na前n项和为nS，满足21(1)4nnSa，求na答案：21nan3．作商法：已知12()naaafnL求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。如数列}{na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa；答案：61164．累加法：若1()nnaafn求na：11221()()()nnnnnaaaaaaaL1a(2)n。例．已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an．答案：242nnna5．累乘法：已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaaL(2)n例．已知数列na满足321a，nnanna11，求na。答案：23nan6．已知递推关系求na，用构造法（构造等差．等比数列）。（1）形如nfpaann1只需构造数列nb，消去nf带来的差异．其中nf有多种不同形式①nf为常数，即递推公式为qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。解法：转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例．已知数列na中，11a，321nnaa，求na．答案：123nna②nf为一次多项式，即递推公式为srnpaann1例．设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na．答案：1631nnan③)(nf为n的二次式，则可设CBnAnabnn2；（2）递推公式为nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq，其中p，q，r均为常数）解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111?引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用类型（1）的方法解决。例．已知数列na中，651a，11)21(31nnnaa，求na。答案：113()2()23nnna（3）递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts，再应用前面类型（2）的方法求解。例．已知数列na中，11a，22a，nnnaaa313212，求na。答案：1731()443nna7．形如11nnnaakab或11nnnnabakaa-=的递推数列都可以用倒数法求通项。例．1,13111aaaannn答案：132nan8.利用平方法、开平方法构造等差数列例1．数列na的各项均为正数，且满足121nnnaaa，12a，求na。答案：2(21)nan例2．已知21()(2)2fxxx，求：（1）1()fx；（2）设11111,()()nnafanNa，求na。答案：（1）121()2(0)fxxx（2）121nan9．rnnapa1型该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。两边取对数得)lg(lg1rnnapannarpalglglg1设nnablg∴原等式变为prbbnnlg1即变为基本型。例．已知3,2211nnaaa，求其通项公式。答案：1223()3nna练习：1.已知11a且1122nnnaa，求na答案：1()22nnan2.已知13a且132nnnaa，求na答案：1532nnna3.已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(，试求通项公式na。解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)nnnnnnnaSSaa化简得：1122(1)nnnaa上式可化为：1122(1)2[(1)]33nnnnaa故数列{2(1)3nna}是以112(1)3a为首项,公比为2的等比数列.故121(1)233nnna∴121222(1)[2(1)]333nnnnnag数列{na}的通项公式为：22[2(1)]3nnna.4.设数列na满足211233333nnnaaaa⋯，n*N．求数列na的通项；解：由1n2aan1n得1n2aan1n则112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a1)1n(2n)1n(21)1n(]12)2n()1n[(21)112()122(]1)2n(2[]1)1n(2[所以数列}a{n的通项公式为2nna5.已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上．求数列{}na的通项公式；解：因为)2n(a)1n(a3a2aa1n321n①所以n1n3211nnaa)1n(a3a2aa②所以②式－①式得nn1nnaaa则)2n(a)1n(an1n则)2n(1naan1n所以2232n1n1nnnaaaaaaaa22a2!na]34)1n(n[③由)2n(a)1n(a3a2aa1n321n，取n=2得212a2aa，则12aa，又知1a1，则1a2，代入③得2!nn5431an6.已知数列}a{n满足nn1n23a2a，2a1，求数列}a{n的通项公式。已知nnnaaa3,311，求通项an...
