解直角三角形解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础．解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算求未知的边长、角度和面积等的过程．要学好解直角三角形及应用，必须理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题．现把直角三角形的解法及应用简析如下：1、明确解直角三角形的依据和思路在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝．（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°．（3）三条边之间的关系：．（4）三角形面积：．（5）同角三角函数的关系：平方关系：；商数关系：，；倒数关系：以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解．2、解直角三角形的基本类型和方法在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边．基本类型和解法归纳如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AB＝90°－A，b＝a·cotA，斜边c及锐角AB＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b，B＝90°－A，直角边a和斜边c，B＝90°－A，例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝，AE＝1，求AB的长．[分析一]：所求AB是Rt△ABC的斜边，但在Rt△ABC中只知一个锐角A＝，暂不可解．而在Rt△ADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt△ADE入手．[解法一]：在Rt△ADE中， ，且∠A＝，AE＝1，，在Rt△ADC中，，在Rt△ABC中，．[分析二]：观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解．[解法二]：同解法一得，，在Rt△ACD中，，在Rt△ABC中，．点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形．这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解．另外，射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，在解直角三角形时经常要用到．例2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线．若BD＝，∠B＝30°，求AD的长；[分析]：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD．而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解．[解析]：在Rt△ABC中， BC＝2BD＝2，∠B＝30°，∴AC＝BC·tanB＝2，在Rt△ADC中， DC＝BD＝，∴．点评：在解直角三角形的问题中，经常会遇到如上的图形，它是含有两个直角三角形的图形．这样的问题常常是利用其中一个直角三角形来解另一个直角三角形．例3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD＝1，求AB．分析：已知的角度告诉我们，Rt△ABC和Rt△ADC都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解．解：在Rt△ADC中，设DC＝x， ∠ADC＝60°，∴AD＝2x，AC＝x，在Rt△ABC中， ∠ABC＝45°，BD＝1，∴1＋x＝x，∴x＝，∴AB＝AC＝x＝．点评：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，要注意发掘图形的几何性质，建立已知与未知的联系，利用线段的和差的等量关系布列...
