九年级数学上册 关于圆的竞赛知识 新人教版VIP免费

竞赛讲座09－圆基础知识如果没有圆，平面几何将黯然失色．圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系．圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形”将构成圆的综合问题的基础．本部分着重研究下面几个问题：1．角的相等及其和、差、倍、分；2．线段的相等及其和、差、倍、分；3．二直线的平行、垂直；4．线段的比例式或等积式；5．直线与圆相切；6．竞赛数学中几何命题的等价性．命题分析例1．已知为平面上两个半径不等的⊙和⊙的一个交点，两圆的外公切线分别为，、分别为、的中点，求证：．例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形．例3．延长至，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一点，为锐角．在线段上，在半圆上，∥，且，∥．求证：．例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等．例5．设是△中最小的内角，点和将这个三角形的外接圆分成两段弧是落在不含的那段弧上且不等于与的一个点，线段和的垂直平分线分别交线段于和，直线和相交于．证明：．例6．菱形的内切圆与各边分别切于，在与上分别作⊙切线交于，交于，交于，交于，求证：∥．例7．⊙和⊙与△的三边所在直线都相切，为切点，并且的延长线交于点．求证：直线与垂直．例8．在圆中，两条弦相交于点，为弦上严格在、之间的点．过的圆在点的切线分别交直线、于．已知，求（用表示）．例9．设点和是△的边上的两点，使得．又设和分别是△、△的内切圆与的切点．求证：．例10．设△满足，，过作△外接圆的切线，交直线于，设关于直线的对称点为，由到所作垂线的垂足为，的中点为，交于点，证明直线为△外接圆的切线．例11．两个圆和被包含在圆内，且分别现圆相切于两个不同的点和．经过的圆心．经过和的两个交点的直线与相交于点和，直线和直线分别与相交于点和．求证：与相切．例12．已知两个半径不相等的⊙和⊙相交于、两点，且⊙、⊙分别与⊙内切于、两点．求证：的充要条件是、、三点共线．例13．在凸四边形中，与不平行，⊙过、且与边相切于点，⊙过、且与边相切于点．⊙和⊙相交于、，求证：平分线段的充要条件是∥．例14．设凸四边形的两条对角线与互相垂直，且两对边与不平行．点为线段与的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证：、、、四点共圆的充要条件为．训练题1．△内接于⊙，，过、两点⊙的切线交于，为的中点，求证：（1）；（2）．2．已知分别是△外接圆上不包含的弧的中点，分别和、相交于、两点，分别和、相交于、两点，分别和、相交于、两点．求证：的充要条件是△为等边三角形．3．以△的边为直径作半圆，与、分别交于点和，过、作的垂线，垂足分别为、．线段、交于点．求证：．4．在△中，已知内的旁切圆与相切于，内的旁切圆与相切于，过和的中点和作一直线，求证：直线平分△的周长，且与的平分线平行．5．在△中，已知，过该三角形的内心作直线平行于交于．在边上取点使得．求证：．6．半圆圆心为，直径为，一直线交半圆于，交于（）．设是△与△的外接圆除点外之另一交点．求证：为直角．7．已知，是锐角△的角平分线，，，且．求证：．8．为△的边上任一点，分别为△、△、△的内切圆半径；分别为这三个三角形的旁切圆半径（在内部）．求证：．9．设是△的边上的一个内点，交△外接圆于，、是分别到和的垂足，是直径为的圆．证明：与⊙相切当且仅当．10．若是圆的弦，是的中点，过任意作弦和，连分别交于，则．11．设为△的垂心，为该三角形外接圆上的一点，是高的垂足，并设与都是平行四边形，与交于．证明：∥．12．在△中，的平分线分别交及三角形的外接圆于和，是内切圆圆心．证明：（1）；（2）．