精品文档精品文档微分中值定理的证明题1.若()fx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导，()()0fafb，证明：R，(,)ab使得：()()0ff。证：构造函数()()xFxfxe，则()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0FaFb，由罗尔中值定理知：,)ab（，使()0F即：[()()]0ffe，而0e，故()()0ff。2.设,0ab，证明：(,)ab，使得(1)()baaebeeab。证：将上等式变形得：1111111111(1)()baeeebaba作辅助函数1()xfxxe，则()fx在11[,]ba上连续，在11(,)ba内可导，由拉格朗日定理得：11()()1()11ffbafba111(,)ba，即11111(1)11baeebaeba111(,)ba，即：ae(1)(,)bebeeab(,)ab。3.设()fx在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f，有2()()Fxxfx证明：在(0,1)内至少存在一点，使得：()0F。证：显然()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0FF，故由罗尔定理知：0(0,1)x，使得0()0Fx又2()2()()Fxxfxxfx，故(0)0F，于是()Fx在0[0]x，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x，使得：()0F，而0(0,)x(0,1)，即证4.设函数)(xf在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(f，1)1(f.证明：精品文档精品文档(1)在(0,1)内存在，使得1)(f．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，1)()(//ff使得【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令xxfxF1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(使得0)(F，即1)(f.（II）在],0[和]1,[上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(，使得0)0()()(fff，1)()1()(fff于是.1111)(1)()()(ffff5.设)(xf在[0，2a]上连续，)2()0(aff，证明在[0,a]上存在使得)()(faf.【分析】)(xf在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到0)()(0)()()()(xfxaffaffaf【证明】令)()()(xfxafxG，],0[ax．)(xG在[0,a]上连续，且)()0()()2()(affafafaG)0()()0(fafG当)0()(faf时，取0，即有)()(faf；当)0()(faf时，0)()0(aGG，由根的存在性定理知存在),0(a使得，0)(G，即)()(faf．6.若)(xf在]1,0[上可导，且当]1,0[x时有1)(0xf，且1)(xf，证明：在)1,0(内有且仅有一个点使得)(f精品文档精品文档证明：存在性构造辅助函数xxfxF)()(则)(xF在]1,0[上连续，且有00)0()0(fF，01)1()1(fF，由零点定理可知：)(xF在)1,0(内至少存在一点，使得0)(F，即：)(f唯一性：（反证法）假设有两个点)1,0(,21，且21，使得0)()(21FF)(xF在]1,0[上连续且可导，且],[21]1,0[)(xF在],[21上满足Rolle定理条件必存在一点),(21，使得：01)()(fF即：1)(f，这与已知中1)(xf矛盾假设不成立，即：xxfxF)()(在)1,0(内仅有一个根，综上所述：在)1,0(内有且仅有一个点，使得)(f7.设)(xf在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且)0(f=)1(f=0，)21(f=1。试证至少存在一个(0，1)，使()fx￠=1。分析：)('f=1)('xf=1)(xf=xxxf)(=0令F(x)=xxf)(证明：令F(x)=xxf)(F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，F(1)=)0)1((011)1(ffF(21)=)1)21((02121)21(ff由介值定理可知，一个(21，1)，使F()=0又F(0)=)0(f0=0对F(x)在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使)('F=0即)('f=1精品文档精品文档8.设)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且)1()0(ff试证存在和.满足10，使0)()(ff。证由拉格朗日中值定理知，)(021)0()21(fff)21,0()1,21()(211)21()1(fff021)21()1(21)0()21()()(ffffff9.设()fx在[,]ab上连续,(,)ab内可导(0),ab()(),fafb证明:,(,)ab使得()().2abff(1)证:(用()ba乘于(1)式两端,知)(1)式等价于22()()()().12ffbaba(2)为证此式,只要取()(),Fxfx取()Gxx和2x在[,]ab上分别应用Cauchy中值定理,则知22()()()()()(),12fffbfababa其中,(,)ab.10.已知函数)(xf在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，ba0，证明存在),(,ba，使)()()(3/22/2fbabaf精品文档精品文档解：利用柯西中值定理332/)()(3)(abafbff而))(()()(/abfafbf则22/33/332/)())(()()(3)(babafababfabafbff（后面略）11.设)(xf在ax时连续，0)(af，当ax时，0)(/kxf，则在))(,(kafaa内0)(xf有唯一的实根解：因为0)(/kxf，则)(xf在...
