专题八：数学方法宓振萍数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。中考数学命题突出对数学思想和方法的考查，这是素质教育的必然要求，中学阶段的数学方法主要有：消元法、换元法、配方法、待定系数法、特殊值法、归纳猜想法、参数法（设k法）、判别式法、构造法等.下面是学习中经常用的几种方法。1、配方法配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，用的最多的是配成完全平方式，在解方程、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，因式分解的方法有许多，中学课本上介绍的有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等。3、换元法数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别式，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。例题解析：例1、已知代数式x2+3x+5的值为7，则3x2+9x-2=简析：此题考查整体代入的数学方法，经过变换，整体代入消元，这样简便易懂，是一种很好的解题方法答案：由已知得x2+3x=2，则3x2+9x-2=3（x2+3x）-2=4例2、（2009，兰州）用配方法解一元二次方程：2213xx解：整理得2x2-3x+1=0二次项系数化1得x2-23x+21=0配方得（x-43）2=161解得x1=1x2=21简析：此题重点考查配方法解方程，学生只要掌握配方的步骤及关键点就能做出此题例3、（09年枣庄市）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（）A．0abB．0abC.1abD．0ab简析：此题考查了不等式的知识可利用特殊值法，根据数轴上ab的位置，使ab取一个具体的数，如a=-2,b=-1,代入选项中验证即可，这样很快的求出答案。答案：C例4、（2009，芜湖）当m满足时，关于x的方程21402xxm有两个不相等的实数根．简析：此题考查了方程根的判别式的应用，根据方程有两个不相等的实数根，可知△＞0因此△=16-4（m-21）=-4m+18＞0从而求出m的范围答案：m＜29例5、（09年沈阳市）有一组单项式：2a，23a，43a，54a，……请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为_________________。简析：此题是探求规律、发现规律的问题，需要通过观察前几个式子的特点，发现其规律特点,从三方面来观察：符号、分子、分母，从而确定。答案：1011a例6（09年枣庄市）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．ab0第3题图现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息，解答下列问题：（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式；（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式；（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？简析：此题是利用待定系数法求函数解析式，是一道综合性的问题根据图像设解析式把点的坐标代入可求出待定系数，只要掌握函数图像的性质与特点，此题就比较容易做出答案：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为11(0)ykxk，由题意，得1810k，145k．∴此阶段函数解析式为45yx(0≤x＜10)．（2）设药物燃烧结束后函数解析式为22(0)kykx，由题意，得2810k，280k．∴此阶段函数解析式为80yx...
