24.4中位线教学目标：１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。３、进一步训练说理的能力。４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。教学重点：经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。教学难点：进一步训练说理的能力。教学过程：一、三角形的中位线（一）问题导入在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点。现在换一个角度考虑，图24.4.1如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？（二）探究过程1、猜想从画出的图形看，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．图24.4.22、证明：如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴．∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），∴DE∥BC且思考：本题还有其它的解法吗？已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC。求证：DE∥BC，DE＝BC。分析:要证DE∥BC，DE＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形。还可以作如下的辅助线作法。3、概括我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。介绍三角形的中位线时，强调指出它与三角形中线的区别。（三）应用例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。图24.4.3已知：如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。求证：AE、DF互相平分。证明连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）同理EF∥AB所以四边形ADEF是平行四边形因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）例2如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G。求证：图24.4.4证明连结ED∵D、E分别是边BC、AB的中点∴DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）∴△ACG∽△DEG∴∴图24.4.5小结：如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的。于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的。［同步训练］如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形。二、梯形的中位线由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知：如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证：EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．图24.4.6分析由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线。于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．证明略思考图24.4.7如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为．其中、分别为梯形的两底边的长，h为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？三、小结与作业小结：谈一下你有哪些收获？作业：Ｐ70练习习题24.4全品中考网
