数论教案§1整数的整除带余除法1整数的整除设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b|a,也称b是a的因数,a是b的倍数.如果没有整数q,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b?a.例如2|4,4|-12,-5|15;2?3，-3?22.在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负.判断是否b|a当a,b的数值较大时,可借助计算器判别.如果b除a的商数是整数,说明b|a;如果b除a的商不是整数,说明b?a.例1判断下列各题是否b|a(1)7|127(2)11|129(3)46|9529(4)29|5939整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.(3)如果12,,,naaaL都是m的倍数,12,,,nqqqL是任意整数,那么1122nnqaqaqaL是m的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab。例如：2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6).2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6).例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除.练习证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除.2.带余除法设a,b是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r使得a=bq+r,0≤r＜b.(1)这里q称为b除a的商,r称为b除a的余数.例如-5=3×(-2)+15=3×1+2-5=(-3)×2+15=(-3)×(-1)+215=(-5)×(-3),-24=(-2)×12.事实上,以b除a的余数也可以是负的.例如-5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b除a的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b除a的余数=0,则b|a;如果b除a的余数≠0,则b?a.例3利用计算器求余数:(1)7除127;(2)11除-129;(3)46除-9529;(4)-29除5939奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数.不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数.偶数的形式为2n(n是整数);奇数的形式为2n-1(n是整数).奇数、偶数的性质:偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b是任意两个整数,则a+b与a-b同奇同偶.例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n是任意3个整数,而且222abn,证明n是偶数.例5设a是任一奇数,试证明8|21a.例6设n是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.证明对任意整a,设a=3q或a=3q±1,于是2a=92q或2a=92q±6q+1=3(32q±2q)+1.即2a≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.练习设n是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数.习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最大公因数1.最大公因数、辗转相除法中小学里的公因数、最大公因数的概念：几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数.(1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数;最大公因数:没有专门的符号.定义设12,,,naaaL,d都是整数,d≠0,如果ida,i=1,2,⋯,n,称d是12,,,naaaL的公因数,12,,,naaaL的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为12(,,,)naaaL.如果12(,,,)naaaL=1,则称12,,,naaaL互质。例1(-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=1.在中小学数学里,求正整数a,b的最大公因数主要有这个样几种方法：(1)观察法；(2)将a,b的所有公因数都求出来,再从中挑最大的；(3)用短除法.辗转相除法:设a,b是正整数,而且有111,0;abqrrb12221,0;brqrrr123332,0;rrqrrr⋯⋯⋯⋯⋯（*）211,0;nnnnnnrrqrrr11.nnnrrq(,)nabr。例2用辗转相除法求(123,78),练习:用辗转相除法求(66,54).下面说明辗转相除法的正确性.先证明性质1设整数a,b,c不全为0,而且有整数q使得a=bq+c则(a,b)=(b,c).证明由a,b,c不全为0知,(a,b)、(b,c)都存在.因(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,得(a,b)|c,又得(a,b)≤(b,c);反之,由(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,得(b,c)|a,(b,c)≤(a,b).所以(a,b)=(b,c).由(*)式知1210,nnbrrrrL而n是有限正整数,再由性质1得112(,)(,)(,)abbrrr⋯=211(,)(,)(,0)nnnnnnrrrrrr.2.最大公因数的性质最大公因数的几个性质：性质2(am,bm)=(a,b)m,m>0.(短除法的根据)例3求(84,90),(120,36).(84,90)=3(28,30)=6(14,15)=6.(120,36)=12(10,3)=12.性质3(a,b)=(|a|,|b|).性质4(a,b,c)=((a,b),c).例4求(-84,120),(-120,-72),(24,-60,-96).例5设n是任意整数,证明3152nn是既约分数.证明设d=(3n+1,5n+2),则d|3(5n+2)-5(3n+1),即d|1,d=1，所以3n+1与5n+2互质.作...
