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有理数的运算【教学结构】由于负数的引入。使数的范围扩大到了有理数，这样对有理数运算的研究就成为我们要进行的主要课题。下面我们将逐一进行研究。1．有理数的加法有理数的加法法则是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加，仍得这个数。在有理数范围内，加法的交换律和结合律仍然成立。对三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加。利用加法的运算律可以简便运算，除了小学已经知道的凑整、同分母先算外，还可以正、负数分别先算，互为相反数结合在一起后再相加等。如计算2．有理数的减法由于减法是加法的逆运算，如a－b=c就是已知两个数的和a与一个加数b，求另一个加数c的运算。因此，有理数的减法运算可以转化为加法去作，得到有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a+(－b),a－(－b)=a+b。“－”号在小学时已经知道它是运算符号“减”，学习了正负数的概念后，“－”号又是性质符号“负”。根据减法法则，对(－8)－(－7)+(－2)－(+1)可以转化为(－8)+(+7)+(－2)+(－1)，象这种把加减统一写成加法的式子叫做有理数的代数和。上面(－8)+(+7)+(－2)+(－1)又可以写为－8+7－2－1叫做省略加号的代数和，即各个加号省略不写，每个数的括号也可以省略，读作“负8、正7、负2、负1的和”或“负8加7减2减1”。运用加法交换律交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。如12－5+7应变为12+7－5，而不能变成12－7+5。3．有理数的乘法小学时我们已经学过正数的乘法，对于正数和负数相乘的意义，如2×(－3)可以看作是水库的水位下降记为负量。若每小时下降3cm，2个小时就下降了6cm，表示为－6cm，也就是说2×(－3)=－6。也就得到了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。即确定符号后把绝对值相乘。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。关于乘号的三种形式“×”，“·”，“省略不写”。对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。如“5×4”可以写成“(5)(4)”但不能写为“54”。“1×”不能写成“1”。另外，乘法的运算律（乘法交换律、乘法结合律、分配律）在有理数运算中仍然成立，并可以简便运算。在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。如4．有理数的除法我们知道，除法是乘法的逆运算，在a×b=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法。根据除法的这种含意，我们得到有理数的除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。即a÷b=a×(b≠0)。由上面可知，有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。小学时我们曾学过倒数的概念，在有理数范围内，我们也把乘积是1的两个数叫作互为倒数。如－2与－互为倒数，因为－2×(－)=1。由倒数的定义可知，一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。0为什么没有倒数呢？0没有倒数的原因有两个：①若0能作除数，有=b(a≠0)，则有0×b=a，这样的b不存在。②若=b(a=0)，则有0×b=a，作为商b不唯一确定。所以0不能作除数，，也就没有倒数。5．有理数的乘方在有理数的乘法运算中，有一类各因数都相同的特殊的形式，如(－2)×(－2)，为了简便起见，可以写成=(－2)×(－2)=(－2)2。一般地，几个相同的因数a相乘，即a×a×a×…×a，记作an。这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方。an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。如(－5)2，底数是－5，指数是2，(－5)2=25，读作－5的...