中考数学压轴专题三专题三因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.【方法揭秘】我们先看三个问题:1.已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?2.已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?3.已知点A(4,0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标.图1图2图3如图1,点C在垂线上,垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个.如图4,已知A(3,0),B(1,-4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标.我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C.如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB.中考数学压轴专题三设OC=m,那么341mm.这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点.【典例分析】例1如图1,已知抛物线E1:y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′.(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;(2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比.图1图2例2如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,连结BC.动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动,动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动,P、Q两点同时出发,连结PQ,当点Q到达点C时,P、Q两点同时停止运动.设运动的时间为t秒.中考数学压轴专题三(1)求二次函数的解析式;(2)如图1,当△BPQ为直角三角形时,求t的值;(3)如图2,当t<2时,延长QP交y轴于点M,在抛物线上是否存在一点N,使得PQ的中点恰为MN的中点,若存在,求出点N的坐标与t的值;若不存在,请说明理由.图1图2例3如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=13,CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G.(1)当CE=3时,求S△CEF∶S△CAF的值;(2)设CE=x,AE=y,当CG=2GB时,求y与x之间的函数关系式;(3)当AC=5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长.图1例4如图1,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a、m是常数,且a>0,m>0)的图像与x轴分别交于A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图像上,CD//AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分∠DAE.(1)用含m的式子表示a;(2)求证:ADAE为定值;(3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.中考数学压轴专题三图1例5如图1,抛物线213442yxx与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求点A、B、C的坐标;(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写...