微专题_圆锥曲线中的最值问题(解析版)VIP专享VIP免费

专题30圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222byax(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值围是[2,)2．P是双曲线221916xy的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为73．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是434．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是32.5．已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件||||22PMPN.记动点P的轨迹为W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOBuuuruuur的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22xy122－＝（x0）（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，20x2－），B（x0，－20x2－），OAOBuuuruuur＝2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程22xy122－＝中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则2222122212244(1)(2)0201201kbkbkbxxkbxxk?解得|k|1，又OAOBuuuruuur＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝2222k242k1k1＋＝＋－－2综上可知OAOBuuuruuur的最小值为2【典型示例】求抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值?分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x,-x20)，由点到直线的距离公式得P到直线的距离d(0x)=5|834|200xx=5320)32(320x34，当0x=32时，d(0x)取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y'(0x)=-20x=-34,∴0x=32,∴P(32,-94),此时d=5|8943324|）（=34，.分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由0342Cyxyx得4x-3x2+C=0，∴△=16+12C=0,∴c=-34,此时d=345|348|）（【分类解析】例1:已知椭圆221259xy，A（4，0），B（2，2）是椭圆的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PAPB的最小值；（2）求||||PAPB的最小值和最大值分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义||4||5PAePQ，∴5||||||||4PAPBPQPB，显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则||2||PAaPC∴||||||2||10(||||)PAPBPAaPCPBPC，根据...