第二十四章24.2.3圆的切线的性质和判定知识点1：圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.关键提醒:(1)在应用圆切线的判定定理时,必须先弄清“题设”中的两个事项:一是经过半径外端点,二是垂直于这条半径,这两者缺一不可,千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线.如图,其中的直线l都不是☉O的切线.(2)根据要点5,6可知,切线的判定方法有三种:①定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②数量法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;③判定定理.知识点2：圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.关键提醒:(1)切线的判定定理和性质定理易混淆,要注意区别.判定定理是不知道直线是否是切线,而让你来证明它,是从数量关系(①与圆只有“1”个公共点;②d=r;③垂直即90°)到位置关系.而性质定理则是已知是切线,它具有哪些性质.(2)由圆的切线的性质定理不难得出:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.由此我们可以总结如下:切线的性质和判定主要涉及四个因素:①切线;②切点(半径外端点);③圆心;④垂直.这四个要素中满足其中的三个,就可以推出另外一个.考点1：切线的判定【例1】如图,点A为☉O外一点,连接OA交☉O于点C.过☉O上一点P作OA的垂线,交OA于点F,交☉O于点E,连接PA、PC.若∠EPC=∠CPA,求证:PA是☉O的切线.解:连接OP.∵OA⊥EP,∴=.∴∠POC=2∠EPC.∵∠EPC=∠CPA,∴∠POC=∠EPA.∵∠POC+∠OPE=90°,∴∠EPA+∠OPE=90°,即PA⊥OP.∴PA是☉O的切线.点拨:此题是判定定理的应用,连接OP后,只要证明∠OPA=90°即可.考点2：利用圆的切线的性质解决问题【例2】如图,AB是☉O的直径,P为AB延长线上的任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切☉O于点D,连接CD交AB于点E.求证:PD=PE.解:连接OC、OD,∴OD⊥PD,OC⊥AB.∴∠PDE=90°-∠ODE,∠PED=∠CEO=90°-∠C.又∠C=∠ODE,∴∠PDE=∠PED.∴PE=PD.点拨:要证PD=PE,即证∠PDE=∠PED,但直接证明两角相等缺条件.由于PD是☉O的切线,切点是D,所以连接OD,得PD⊥OD,又点C为半圆ACB的中点,连接OC可得∠COB=90°.∠PDE+∠ODC=90°,∠OEC+∠OCE=∠PED+∠OCE=90°,根据等角的余角相等可证.
