第二十四章24.2.4圆的切线长性质知识点1：切线长与切线长定理切线长:经过圆外一点作圆的切线,该点和切点之间的线段的长,叫做该点到圆的切线长.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.关键提醒:(1)切线与切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量;(2)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据.知识点2：三角形的内切圆与内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,内心是三角形三条角平分线的交点.关键提醒:(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,因此三角形的内心到三角形三边的距离相等;(2)“切”是说明三角形的边与圆的关系,而“内”是三角形与圆的相对位置,因此我们可以说这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有唯一的内切圆,而圆有无数个外切三角形;(3)我们一定要从文字、图形、性质和实际意义上区别三角形的“外心”“内心”“内切圆”和“外接圆”等概念,以免混淆.一般情况下,三角形的内心、外心是两个不同的点,但等边三角形的内心、外心重合为一点.任意一个三角形的内心都在三角形内,而外心则不一定.考点1：利用切线长定理解决问题【例1】如图,过半径为150px的☉O外一点P,引圆的切线PA、PB,连接PO交☉O于点F,过点F作☉O的切线,分别交PA、PB于点D、E.若PO=250px,∠APB=74°.求:(1)△PED的周长;(2)∠DOE的度数.解:(1)连接OA,则OA⊥PA,PA===8(cm).∵PA、PB、DE是☉O的切线,根据切线长定理知PA=PB,DF=DA,EF=EB.∴△PED的周长=PD+DF+EF+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=2PA=16(cm).(2)连接OB,则有OA⊥PA,OB⊥PB.根据切线长定理知∠ADO=∠EDO,∠BEO=∠DEO,∴∠AOD=∠FOD=∠AOF,∠BOE=∠FOE=∠BOF.∴∠DOE=∠FOD+∠FOE=(∠AOF+∠BOF)=∠AOB.∵∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-74°=106°,∴∠DOE=×106°=53°.点拨:(1)由切线长性质知PA=PB,DA=DF,EF=EB,△PED的周长为PA+PB,即2PA.连接OA,由切线的性质得OA⊥PA,利用勾股定理可求出PA;(2)连接OB,则∠ADO=∠EDO,∠BEO=∠DEO,进而得∠AOD=∠FOD=∠AOF,∠BOE=∠FOE=∠BOF,所以∠DOE=∠AOB,而在四边形PAOB中易求出∠AOB的度数.考点2：和三角形的内切圆相关的计算【例2】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.则△ABC的内切圆半径为.解答:方法一:连接OA、OB、OC,S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,∴BC·r+AC·r+AB·r=AC·BC.∴r===2.方法二:设☉O与△ABC相切于点D、E、F,连接OD、OF,OD⊥AC,OF⊥BC,∠C=90°,OF=OD,∴四边形OFCD为正方形.设☉O的半径为r,BF=CF=8-r,AD=AE=6-r,∴AB=AE+BE=8-r+6-r=10.∴r=2.点拨:方法一:如图(1),利用面积法求解,把三角形ABC分割成三部分:△BCO、△CAO、△ABO,再根据与△ABC的面积关系可以求出r.方法二:根据切线长定理求解.由切线长定理可得AD=AE,BE=BF,CF=CD.四边形ODCF为正方形,设☉O的半径为r,可列方程6-r+8-r=10.求出r=2.(1)(2)
