数学物理方程第二版答案第一章．波动方程§1方程的导出。定解条件4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为，则x点处的张力)(xT为)()(xlgxT且)(xT的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以),(txu表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段),,(xxx则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为)(sin))(();(sin)(xxxxlgxxlg其中)(x表示)(xT方向与x轴的夹角又.sinxutg于是得运动方程xuxxltux)]([22∣xuxlgxx][∣gx利用微分中值定理，消去x，再令0x得])[(22xuxlxgtu。5.验证2221),,(yxttyxu在锥222yxt>0中都满足波动方程222222yuxutu证：函数2221),,(yxttyxu在锥222yxt>0内对变量tyx,,有二阶连续偏导数。且tyxttu23222)(2252222322222)(3)(tyxtyxttu)2()(22223222yxtyxtxyxtxu23222)(22522223222223xyxtyxtxu222252222yxtyxt同理22225222222yxtyxtyu所以.222222252222222tuyxtyxtyuxu即得所证。§2达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）).()(0022222xuxuxuatuatxatx)0()0(解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令x-at=0得)(x=F（0）+G（2x）令x+at=0得)(x=F（2x）+G(0)所以F(x)=)2(x-G(0).G（x）=)2(x-F(0).且F（0）+G(0)=).0()0(所以u(x,t)=()2atx+)2(atx-).0(即为古尔沙问题的解。8．求解波动方程的初值问题xtuuxtxututtsin|,0sin002222解：由非齐次方程初值问题解的公式得dddtxuttxtxtxtx0)()(sin21sin21),(=tdtxtxtxtx0))](cos())([cos(21)]cos()[cos(21=tdtxtx0)sin(sinsinsin=tttxtx0)]sin()cos([sinsinsin=xtsin即xttxusin),(为所求的解。§3混合问题的分离变量法1.用分离变量法求下列问题的解：(1)0),(),0()0()1(,3sin022222tlutulxxxtulxuxuatuott解：边界条件齐次的且是第一类的，令)()(),(tTxXtxu得固有函数xlnxXnsin)(，且tlanBtlanAtTnnnsincos)(，)2,1(n于是1sin)sincos(),(nnnxlntlanBtlanAtxu今由始值确定常数nA及nB，由始值得1sin3sinnnxlnAlx1sin)(nnxlnBlanxlx所以,13A,0nA当3nlnxdxlnxlxanB0sin)(2xlnxnlxlnnlxlnxnllancossincos22222))1(1(4cos2sin24430333222nlanlxlnnlxlnnxl因此所求解为1443sinsin)1(143sin3cos),(nnxlntlannalxltlatxu(2)0)0,(,)0,(0),(0),0(022222xtuxlhxutltutuxuatu解：边界条件齐次的，令)()(),(tTxXtxu得：0)(,0)0(0lXXXX(1)及)2(02XaT。求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。10时，方程的通解为xxeCeCxX21)(由0)0(X得021cc由0)(lX得021lleCeC解以上方程组，得01C，02C，故0时得不到非零解。20时，方程的通解为xccxX21)(由边值0)0(X得01c，再由0)(lX得02c，仍得不到非零解。30时，方程的通解为xcxcxXsincos)(21由0)0(X得01c，再由0)(lX得0cos2lc为了使02c，必须0cosl，于是2212lnn)2,1,0(n且相应地得到xlnxXn212sin)()2,1,0(n将代入方程(2)，解得talnBtalnAtTnnn212sin212cos)()2,1,0(n于是0212sin)212sin212cos(),(nnnxlntalnBtalnAtxu再由始值得00212sin2120212sinnnnnxlnBalnxlnAxlh容易验证xln212sin)2,1,0(n构成区间],0[l上的正交函数系：nmlnmxdxlnxlml当当20212sin212sin0利用xln212sin正交性，得xdxlnxlhlAln212sin20lxlnnlxlnxnllh022212sin)12(2212cos)12(22nnh)1()12(8220nB所以022212sin212cos)12()1(8),(nnxlntalnnhtxu2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为0)0,()0,(sin),(,0),0(22222xtuxutAtlutuxuatu求解此问题。解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取txlAtxUsin),(，则),(txU满足0),0(tU，tAtlUsin),(令),(),(),(txvtxUtxu代入原定解问题，则),(txv满足)1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin222222xlAxtvxvtlvtvtxlAxvatv),(txv满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为xlnxXnsin)(，)2,1,0(n故设)2(sin)(),(1nnxlntTtxv将方程中非齐次项txlAsin2及初始条件中xlA按xlnsin展成级数，得12sin)(sinnnxlntftxlA其中lnxdxlntxlAltf02sinsin2)(lxlnnlxlnxnltlA022222sincossin2xlAtnAnsin)1(212xlnnnsin1其中nlnnAxdxlnxlAl)1(2sin202将(2)...
