第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共9页第三章导数的应用自测题答案一、填空题（本题共6小题，把答案填在题中的横线上）。１、54，√6−5。２、0３、1。４、3，−9。５、1，−1。6、(−∞，−1)∪(1，+∞)；(−1,1)。二、用洛必达法则求下列极限。1、limx→π2cosxx−π22、limx→π2lnsinx(π−2x)2解：原式=limx→π2−sinx1=−1解：原式=limx→π2cotx−4(π−2x)=limx→π2−csc2x8=−183、limx→0ax−bxx4、limx→1(xx−1−1lnx)解：原式=limx→0axlna−bxlnb1=lnab解：原式=limx→1xlnx−x+1（x-1)lnx=12三、求下列函数的单调区间。1、f(x)=x3−x2−x+1．解： f'(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1)∴f(x)在区间(−∞,−13)∪(1,+∞)内单增；在（−13，1）内单减。2、f(x)=x−ln(1+x)第2页共9页第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共9页解： f'(x)=1−11+x∴f(x)在区间(0,+∞)内单增；在（−1，0）内单减。四、试确定a、b、c的值，使y=x3+ax2+bx+c有一拐点（1，−1），且在x=0处有极大值。解：y'(x)=3x2+2ax+b，y''(x)=6x+2a由题意得：{−1=1+a+b+c0=b0=6+2a⇒{a=−3b=0c=1五、证明题；1、当x>0时，ln(1+x)>arctanx1+x证：令f(x)=(1+x)ln(1+x)−arctanx,x>0 x>0则f'(x)=ln(1+x)+1−11+x2>0∴当x>0时,f(x)单增。∴f(x)=(1+x)ln(1+x)−arctanx>f(0)=0又 ln(1+x)>0第3页共9页第2页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共9页∴ln(1+x)>arctanx1+x2、证明：当x>0时，1+12x>√1+x。证：令f(x)=1+x2−√1+x,x>0 x>0则f'(x)=12−12√1+x>0∴当x>0时,f(x)单增。f(x)=1+x2−√1+x>f(0)=0∴当x>0时，1+12x>√1+x六、求函数y=1+e−x21−e−x2的渐进线 limx→∞1+e−x21−e−x2=1∴y=1为水平渐近线。 limx→01+e−x21−e−x2=∞∴x=0是垂直渐近线。第4页共9页第3页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共9页七、某商行能以5%的年利率借得贷款，然后它又将此贷款给顾客，若它能贷出的款额与它贷出的年利率的平方成反比，问年利率为多少时贷出能使商行获利最大？解：令x为年利率，则贷出款额为kx2，获利为：y=k(x−0.05）x2=kx−kx2令y'=0.1k−xkx3=0则x=0.1答：年利率为10%时贷出能使商行获利最大。第四章不定积分自测题答案一、填空题（本题共9小题，把答案填在题中的横线上）。1、f(x)+C。2、f(x)+C；f(x)。第5页共9页第4页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共9页3、f(x)dx。4、12f2(x)+C。5、无限多；常数。6、−sin2x。7、2xln2+cosx。8、1aF(ax+b)+C。9、xsinx+cosx+C。二、计算题1、用基本积分公式计算下列积分（1）∫(x2−1x+3x3−4x4)dx解：原式=14x2−ln|x|−32x−2+43x−3+C（2）∫x21+x2dx解：原式=∫x2+1−11+x2dx=∫(1−11+x2)dx=x−arctanx+C（3）∫cos2xcosx+sinxdx解：原式=∫cos2x−sin2xcosx+sinxdx=∫（cosx−sinx)dx=sinx+cosx+C（4）∫secx(secx−tanx)dx解：原式=∫(sec2x−secxtanx)dx=tanx−secx+C2、用第一类换元积分法计算下列积分第6页共9页第5页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第6页共9页（1）∫(2−x)52dx解：原式=−∫(2−x)52d（2−x）=−27（2−x)72+C（2）∫a3xdx解：原式=13∫a3xd3x=13lnaax+C（3）∫2x1+x2dx解：原式=∫11+x2d(1+x2)=ln(1+x2)+C（4）∫ln2xxdx解：原式=∫ln2xdlnx=ln3x3+C（5）∫dx4+9x2解：原式=16∫d3x21+(3x2)2=16arctan3x2+C（6）∫esinxcosxdx解：原式=∫esinxdsinx=esinx+C（7）∫sin√x√xdx解：原式=2∫sin√xd√x=−2cos√x+C（8）∫cos2xdx第7页共9页第6页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第7页共9页解：原式=∫1+cos2x2dx=12x+sin2x4+C3、用第二类换元积分法计算下列积分（1）∫3√x+adx解：令（x+a)13=t,则dx=3t2dt,原式=∫3t3dt=34t4+C=34(x+a)43+C（2）∫dx√x+3√x2解：令x16=t，则dx=6t5dt∴原式=∫6t5dtt3+t4=6∫t21+tdt=6(t22−t)+6ln|...
