运用公式法—完全平方公式(2)教学目标1.会把多项式经过适当变形，成为完全平方式的形式，能较熟练地运用完全平方公式把多项式分解因式；2.通过综合运用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式把多项式因式分解，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力.教学重点和难点重点：把多项式通过适当的代换、变形转化为完全平方式，运用完全平方公式分解因式.难点：综合运用多种方法把多项式因式分解.教学过程设计一、导入新课问：什么叫完全平方式?试举例加以说明.答：形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，例如多项式9x2－12xy+4y2就是一个完全平方式.问：多项式－x2－4y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点?这样的多项式能否进行因式分解?这节课我们就要解决这个问题.二、新课例1把－x2－4y2+4xy分解因式.分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式.解－x2+4y2+4xy=(x2－4xy+4y2)=－[x2－2·2x·y+(2y)2]=－(x－2y)2.指出：1.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.2.在对类似例1的多项式因式分解时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式因式分解.例2把(x+y)2－6(x+y)+9分解因式.分析：多项式中的两个平方项分别是(x+y)2和32，另一项6(x+y)=2·(x+y)·3，符合完全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为(x+y)2－6(x+y)+9=a2－6a+9，因而能运用完全平方公式，得到(a－3)2.在解题过程中，可以把代换这一步骤省略.解(x+y)2－6(x+y)+9=(x+y)2－2(x+y)·3+32=(x+y－3)2.指出：把较复杂的多项式(x+y)2－6(x+y)2+9，通过代换a=x+y，使原多项式转化为关于字母a的二次三项式a2－6a+9，从而可以用完全平方公式分解因式，这种通过代换解决问题的方法是数学中经常用到的一种重要的思想方法.例3把m2+10m(a+b)+25(a+b)2分解因式.问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式?为什么?答：可以把m2+10m(a+b)+25（a+b）2写成m2+2m·5(a+b)+[5(a+b)]2.这里m相当于完全平方式里的a，5(a+b)相当于完全平方式里的b.原式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解.解m2+10m(a+b)+25(a+b)2=m2+2m·5(a+b)+[5(a+b)]2=[m+5(a+b)]2=(m+5a+5b)2.指出：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式包(数)，也可以是多项式.例4把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)81m4－72m2n2+16n4.对于(1)，请同学观察和分析，这个多项式的结构有什么特点?怎样分解因式?答：这个多项式的各项都有公因式3a，可以先提出，即3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2).括号内的多项式是一个完全平方式，可以用完全平方公式因式分解.对于(2)，结合这个多项式的结构特点，怎样分解因式?答：所给的多项式是三项式，其中第一、三项可以变形为平方项，即81m4=(9m2)2，16n4=(4n2)2，中间项72m2n2=2·9m2·4n2，所以这个多项式符合完全平方式形式，因此可以运用完全平方公式因式分解.解(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.指出：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式.(2)81m4－72m2n2+16n4=(9m2)2－2·9m2·4n2+(4n2)2=(9m2－4n2)2.问：做到这一步还能不能继续再分解?答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式.原式=(9m2－4n2)2=[(3m)2－(2n)2]2=[(3m+2n)(3m－2n)]2=(3m+2n)2(3m－2n)2.指出：在把多项式因式分解时，应把多项式分解到不能再分解为止.三、课堂练习把下列各式分解因式：(1)(x+y)2－10(x+y)+25；(2)－2xy－x2－y2；(3)ax2+2a2x+a3；(4)－a2c2－c4+2ac3；(5)(a+b)2－16(a+b)+64；(6)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(7)(m2－6)2(m2－6)+9；(8)a4－8a2b2+16b4.答案：(1)(x+y－5)2；(2)－(x+y)2；(3)a(x+a)2；(4)－c2(a－c)2；(5)(a+b－8)2；(6)(x+1)4；(7)(m+3)2(m－3)2；(8)(a+2b)2(a－2...
