新疆克拉玛依市第十三中学八年级数学 《十字相乘法》教案 人教新课标版VIP免费

十字相乘法(3)教学目标1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式；2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性.教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；难点：灵活运用十字相乘法分解因式.教学过程设计一、导入新课把下列各式多分解因式：1.x2+6x－72；2.(x+y)2－8(x+y)+48；3.x4－7x2+18；4.x2－10xy－56y2.答：1.(x+12)(x－6)；2.(x+y－12)(x+y+4)；3.(x+3)(x－3)(x2+2)；4.(x－14y)(x+4y).我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式.对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式.二、新课例1把2x2－7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：11231×3+2×1=513211×1+2×3=71－12－31×(－3)+2×(－1)=－51－32－11×(－1)+2×(－3)=－7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1c1a2c2a1a2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2把6x2－7x－5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种213－52×(－5)+3×1=－7是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是1－3151×5+1×(－3)=2所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).例3把5x2+6xy－8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即125－41×(－4)+5×2=6解5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x－y)(2x－2y－3)－2=(x－y)[2(x－y)－3]－2=2(x－y)2－3(x－y)－2=[(x－y)－2][2(x－y)+1]=(x－y－2)(2x－2y+1).1－22+11×1+2×(－2)=－3指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.三、课堂练习1.用十字相乘法分解因式：(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.2.把下列各式分解因式：(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2.答案：1.(1)(x－4)(2x+3)；(2)(x－2)(3x+1...