专题十五坐标系与参数方程探考情悟真题【真题探秘】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.极坐标方程能在极坐标中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线的性质2019课标Ⅱ,22,10分极坐标方程轨迹问题★★★2017课标Ⅱ,22,10分极坐标方程与直角坐标方程互化轨迹问题、三角函数求面积最值2016课标Ⅰ,23,10分极坐标方程求参数2015课标Ⅱ,23,10分极坐标方程与直角坐标方程互化三角函数求最值2.参数方程了解参数方程及参数的意义,能借助参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质2019课标Ⅰ,22,10分参数方程与普通方程互化距离最值★★★2018课标Ⅱ,22,10分参数方程与普通方程互化直线的斜率分析解读从近5年的高考情况来看,本专题内容一直是高考命题的热点,以解答题的形式出现,分值为10分.主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,参数方程与普通方程的互化以及参数方程的应用,其中利用椭圆、圆的参数方程求最值及利用直线参数方程中参数的几何意义求值是高考考查的重点.解题时,应熟记互化公式和互化方法,巧妙设取参数,充分利用化归与转化思想在解题中的指导作用.考查学生的数学运算和逻辑推理素养.破考点练考向【考点集训】考点一极坐标方程1.(2019豫南九校联考,22)在直角坐标系xOy中,直线l:y=❑√3x,曲线C1的参数方程为{x=cosα,y=1+sinα(α为参数),M是C1上的动点,P点满足⃗OP=3⃗OM,P点的轨迹为曲线C2.(1)求直线l与曲线C2的极坐标方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.解析(1)设P(x,y),则由条件知M(x3,y3).由于M点在C1上,所以{x3=cosα,y3=1+sinα(α为参数),即{x=3cosα,y=3+3sinα(α为参数),(2分)从而C2的参数方程为{x=3cosα,y=3+3sinα(α为参数),(3分)则C2的极坐标方程为ρ=6sinθ.易知直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R).(5分)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ,(6分)又因为曲线C2的极坐标方程为ρ=6sinθ,直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R),所以直线l与C1的交点A的极径为ρ1=2sinπ3,(7分)直线l与C2的交点B的极径为ρ2=6sinπ3,(8分)所以|AB|=|ρ2-ρ1|=4sinπ3=2❑√3.(10分)2.(2020届宁夏六盘山9月月考,22)在直角坐标系xOy中,已知圆C:{x=2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),点P在直线l:x+y-4=0上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求圆C和直线l的极坐标方程;(2)射线OP交圆C于R,点Q在射线OP上,且满足|OP|2=|OR|·|OQ|,求Q点轨迹的极坐标方程.解析(1)将圆C:{x=2cosθ,y=2sinθ(θ为参数)转化为普通方程为x2+y2=4,∴圆C的极坐标方程为ρ=2. 直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,∴直线l的极坐标方程为ρ=4sinθ+cosθ.(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ).因为ρ1=4sinθ+cosθ,ρ2=2,且|OP|2=|OR|·|OQ|,所以ρ12=ρ·ρ2,所以ρ=ρ12ρ2=16(sinθ+cosθ)2×12,即ρ=81+sin2θ.所以Q点轨迹的极坐标方程为ρ=81+sin2θ.考点二参数方程1.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:{x=❑√22t,y=-1+❑√22t(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,l与C相交于A、B两点.(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.解析(1)直线l的参数方程为{x=❑√22t,y=-1+❑√22t(t为参数),转化为普通方程为x-y-1=0.曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.(2)把直线l的参数方程{x=❑√22t,y=-1+❑√22t(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4❑√2t+2=0,设A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,则|MA|·|MB|=|t1·t2|=2.2.(2020届江西景德镇摸底测试,22)在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是ρ=244cosθ+3sinθ,以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为{x=cosθ,y=sinθ(θ为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;(2)将曲线C2经过伸缩变换{x'=2❑√2x,y'=2y后得到曲线C3,若M,N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,求|MN|的最小值.解析(1) C1的...
