课时作业11空间向量与立体几何[A·基础达标]1．如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝EBD．E与B重合2．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A.B.C.D.3.如图，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝，则直线AD与BC所成的角为________．4．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积V球＝，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为________．5．如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．6．[2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．[B·素养提升]1.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．2.如图，在三棱柱ABCDEF中，所有棱长均相等，且∠ABE＝∠ACF＝，CE∩BF＝O，点P为线段ED上的动点(异于E，D两点)．(1)当P在线段ED的中点时，证明：OP∥平面ACFD；(2)当P在线段ED上何处时，二面角OPFE的余弦值为？3．在▱PABC中，PA＝4，PC＝2，∠P＝45°，D是PA的中点(如图1)．将△PCD沿CD折起到图2中△P1CD的位置，得到四棱锥P1ABCD.(1)将△PCD沿CD折起的过程中，CD⊥平面P1DA是否成立？请证明你的结论．(2)若P1D与平面ABCD所成的角为60°，且△P1DA为锐角三角形，求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值．课时作业11空间向量与立体几何[A·基础达标]1．解析：分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，则D1F＝(0,1，－2)，DE＝(2,2，z)，因为D1F·DE＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB.答案：A2.解析：如图，可得AD·EB＝(AB＋BD)·EB＝AB·EB＝4×2×＝12＝5×2×cosθ(θ为AD与EB的夹角)，所以cosθ＝，sinθ＝，tanθ＝，又因为BE⊥平面AA1C1C，所以所求角的正切值为.答案：D3．解析：如图，过点O作OE⊥AB交底面圆于E，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD＝π，所以∠BOD＝，则D(，1,0)，A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，AD＝(，3,0)，BC＝(0，－2,2)，所以cos〈AD，BC〉＝－＝－，则直线AD与BC所成的角为.答案：4．解析：如图，过点O作OM⊥平面ABCD，垂足为点M，则点M为正方形ABCD的中心． 正方形ABCD的边长为2，∴AC＝2，∴AM＝. V球＝πr3＝，∴球O的半径OA＝r＝2，∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为cos∠OAM＝＝＝.答案：5．解析：(1)因为由题意知四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.在菱形ABCD中，∠ABC＝，则△ABC是等边三角形．因为点E是BC中点，所以BC⊥AE.因为BC∥AD，所以AE⊥AD.故建立如图所示，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AA1为z轴的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(，0,0)，F.AD＝(0,2,0)，EF＝，cos〈AD，EF〉＝＝＝，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．则M(0,2λ，2－2λ)，CM＝(－，2λ－1,2－2λ)．设平面AEF的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)．因为AE＝(，0,0)，AF＝.由得x0＝0，y0＋z0＝0，取y0＝2，则z0＝－1，则平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．由于CM∥平面AEF，则n·CM＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.6．解析：(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D为坐标原点，DA...
