课时作业14圆锥曲线中的证明、定点及定值问题[A·基础达标]1．设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．[B·素养提升]1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，直线2x＋y－6＝0与直线MN垂直，垂足为点B，且点N是线段MB的中点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于E，F两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGF(O为坐标原点)为平行四边形，求证：四边形OEGF的面积S为定值．2．[2020·长沙市统一模拟考试]已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程．(2)过点A(－4,0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．课时作业14圆锥曲线中的证明、定点及定值问题[A·基础达标]1．解析：(1)由题意知，4a＝4，a＝.又e＝，∴c＝，b＝，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则，两式相减，得＋－＝0，∴＝－，＝－，∴·＝－，·＝－，即k·kOM＝－.∴kOM＝－.同理可得kON＝－，∴kOM＝kON，∴O，M，N三点共线．2．解析：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝.又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8.故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4,3k＋m)，所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2.联立，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0，因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)·(9m2－72)＝0，化简得m2＝9k2＋8.所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2＝0，所以F1M⊥F1N，故∠MF1N为定值.[B·素养提升]1．解析：(1)由题意知M(－a,0)，N(0，b)，直线MN的斜率k＝＝，所以a＝2b.①因为点N是线段MB的中点，所以点B的坐标为(a,2b)．又点B在直线2x＋y－6＝0上，所以2a＋2b＝6，②联立①②，解得a＝2，b＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.易知Δ>0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.因为四边形OEGF为平行四边形，所以OG＝OE＋OF＝(x1＋x2，y1＋y2)，可得G.将点G的坐标代入椭圆C的方程，得m2＝(1＋4k2)．又点O到直线EF的距离d＝，|EF|＝|x1－x2|，所以平行四边形OEGF的面积S＝d×|EF|＝|m||x1－x2|＝|m|×＝4×＝4×＝＝3.于是四边形OEGF的面积S为定值，且定值为3.2．解析：(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，代入x＝c，得y2＝4ac，即y＝±2，所以4＝4，则有，所以a＝2，b＝，所以椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x.(2)依题意，当直线l的斜率不为0时，设其方程为x＝ty－4.由，得(3t2＋4)y2－24ty＋36＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则E(x1，－y1)．由Δ>0，得t<－2或t>2，且y1＋y2＝，y1y2＝.根据椭圆的对称性可知，若直线EN过定点，此定点必在x轴上，设此定点为Q(m,0)．因为kNQ＝kEQ，所以＝，(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，即(ty1－4－m)y2＋(ty2－4－m)y1＝0,2ty1y2－(m＋4)(y1＋y2)＝0，即2t·－(m＋4)·＝0，得(3－m－4)t＝(－m－1)t＝0，由t是大于2或小于－2的任意实数知m＝－1，所以直线EN过定点Q(－1,0)．当直线l的斜率为0时，直线EN的方程为y＝0，也经过点Q(－1,0)，所以当直线l绕点A旋转时，直线EN恒过一定点Q(－1,0)．
