课时作业19函数、导数与不等式[A·基础达标]1．函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝aex.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a≥时，xf(x)≤g(x)．2．[2020·贵阳市第一学期监测考试]已知函数f(x)＝asinx－x＋b(a，b均为正常数)，h(x)＝sinx＋cosx.(1)求证：函数f(x)在(0，a＋b]内至少有一个零点；(2)设函数f(x)在x＝处有极值，对于一切x∈[0，]，不等式f(x)>h(x)恒成立，求b的取值范围．[B·素养提升]1．[2020·开封市模拟考试]已知函数f(x)＝ex－x－1.(1)证明f(x)≥0；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，·…·n>0时，证明：men＋n0，所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．(2)证明：要证xf(x)≤g(x)，即证x(x－lnx)≤aex，即证a≥.设h(x)＝，则h′(x)＝＝，由(1)可知f(x)≥f(1)＝1，即lnx－(x－1)≤0，于是，当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝＝，所以当a≥时，xf(x)≤g(x)．2．解析：(1)证明：∵f(0)＝b>0，f(a＋b)＝asin(a＋b)－a－b＋b＝a[sin(a＋b)－1]≤0，∴f(0)f(a＋b)≤0，∴函数f(x)在(0，a＋b]内至少有一个零点．(2)f′(x)＝acosx－1.由已知得：f′＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2sinx－x＋b，不等式f(x)>h(x)恒成立可化为sinx－cosx－x>－b，记函数g(x)＝sinx－cosx－x，x∈[0，]，则g′(x)＝cosx＋sinx－1＝sin－1，x∈，当x∈时，1≤sin≤，∴g′(x)≥0在[0，]上恒成立，∴函数g(x)在[0，]上是增函数，最小值为g(0)＝－1，∴b>1，∴b的取值范围是(1，＋∞)．[B·素养提升]1．解析：(1)证明：f′(x)＝ex－1.当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0.(2)由(1)知当x∈(0，＋∞)时，ex－x－1>0，即ex>x＋1，即x>ln(x＋1)．令x＝，得ln<.从而ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝1－<1.故·…·2，所以m的最小值为3.2．解析：(1)由题可得f(x)的定义域为R，且f′(x)＝(ax＋a－1)ex.①当a＝0时，f′(x)＝－ex<0，此时f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减．②当a>0时，由f′(x)>0，得x>－；由f′(x)<0，得x<－.此时f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．③当a<0时，由f′(x)>0，得x<－；由f′(x)<0，得x>－.此时f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．(2)证明：当m>n>0时，要证men＋n(*)．设g(x)＝，x>0，则g′(x)＝.设h(x)＝(x－1)ex＋1，x>0，由(1)知当a＝1时，y＝(x－1)ex在(0，＋∞)上单调递增，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，h(x)>h(0)＝0.于是g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以当m>n>0时，g(m)>g(n)，即(*)式成立．故当m>n>0时，men＋n
