24分大题抢分练(三)(建议用时：30分钟)20．(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnx－＞0，设g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞g(1)＝0.②当a＞2时，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1.故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜g(1)＝0，综上可知，实数a的取值范围是(－∞，2]．21．(12分)已知动圆C过定点F2(1,0)，并且内切于定圆F1：(x＋1)2＋y2＝12.(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(2)若曲线y2＝4x上存在两个点M，N，(1)中曲线上有两个点P，Q，并且M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．[解](1)设动圆的半径为r，则|CF2|＝r，|CF1|＝2－r，所以|CF1|＋|CF2|＝2＞|F1F2|，由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，所以b＝，动圆圆心C的轨迹方程是＋＝1.(2)当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|＝4，|PQ|＝2，四边形PMQN的面积S＝4.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，联立方程消元得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|＝＝＋4.因为PQ⊥MN，所以直线PQ的方程为y＝－(x－1)，由得(2k2＋3)x2－6x＋3－6k2＝0.设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则|PQ|＝＝.则四边形PMQN的面积S＝|MN||PQ|＝＝.令k2＋1＝t，t＞1，则S＝＝＝.因为t＞1，所以0＜＜1，易知－＋的范围是(0,2)，所以S＞＝4.综上可得S≥4，S的最小值为4.
