46分大题保分练(一)(建议用时：40分钟)17．(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)频数151310165(1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)[解](1)所求的频率分布直方图如下：(2)由题可知使用节水龙头后50天的用水量在[0.3,0.4)的频数为10，所以可估计在[0.3,0.35)的频数为5，故用水量小于0.35(m3)的频数为1＋5＋13＋5＝24，其频率为＝0.48.因此，估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．18．(12分)(2020·赣州模拟)在△ABC中，2sin2－sin＝sinA．(1)求sinA的值；(2)若AB＋AC＝4，△ABC的面积为，求边BC的长．[解](1)由已知可得2sincos＋sin＝2sin2，因为sinA≠0，所以sinA－cosA＝，两边平方可得sinA＝.(2)由sinA－cosA＞0可得tanA＞1，从而A＞90°，于是cosA＝－，因为△ABC的面积为，所以AB·AC＝4，由余弦定理可得，BC＝＝1＋.19．(12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.(1)求证：CF∥平面AB1E.(2)求三棱锥CAB1E的高．[解](1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG(图略)，因为F，G分别是AB，AB1的中点，所以FG∥BB1，FG＝BB1.因为E为侧棱CC1的中点，所以FG∥EC，FG＝EC，所以四边形FGEC是平行四边形，所以CF∥EG，因为CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，所以CF∥平面AB1E.(2)因为三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥平面ABC．又AC⊂平面ABC，所以AC⊥BB1，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，因为BB1∩BC＝B，所以AC⊥平面EB1C，所以AC⊥CB1，所以VAEB1C＝S△EB1C·AC＝××1＝.因为AE＝EB1＝，AB1＝，所以S△AB1E＝.因为VCAB1E＝VAEB1C，所以三棱锥CAB1E的高为＝.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝3.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)直线l与圆C交于A，B两点，点P(1,2)，求|PA|·|PB|的值．[解](1)直线l的普通方程为x＋y－3＝0，因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－3＝0.(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得＋－4－3＝0，化简可得t2＋3t－2＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，t1t2＝－2，则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－1|.(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；(2)若函数f(x)的最大值为M，设a＞0，b＞0，且(a＋1)·(b＋1)＝M，求a＋b的最小值．[解](1)由题知f(x)＝＝当x＜－3时，由－4≥x＋1，可得x≤－5，即x≤－5.当－3≤x≤1时，由2x＋2≥x＋1，可得x≥－1，即－1≤x≤1.当x＞1时，由4≥x＋1，可得x≤3，即1＜x≤3.综上，不等式f(x)≥x＋1的解集为(－∞，－5]∪[－1,3]．(2)由(1)可得函数f(x)的最大值M＝4，则ab＋a＋b＋1＝4，3－(a＋b)＝ab≤，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以(a＋b)2＋4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≤－6(舍去)或a＋b≥2，因此a＋b的最小值为2.
