46分大题保分练(二)(建议用时：40分钟)17．(12分)(2020·武汉模拟)若等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a4－a1＝S3，a5－a1＝15.(1)求数列{an}的首项a1和公比q；(2)若an＞n＋100，求n的取值范围．[解](1)∵a4－a1＝S3，a5－a1＝15.显然公比q≠1，∴，解得q＝2，a1＝1，(2)由(1)可得an＝2n－1，∵an＞n＋100，即2n－1＞n＋100，解得n≥8.18．(12分)某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表：月份代码t1234567销售量y(万件)y1y2y3y4y5y6y7但其中数据污损不清，经查证∑yi＝9.32，∑tiyi＝40.17，＝0.55.(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；(2)求y关于t的回归方程(系数精确到0.01)；(3)公司经营期间的广告宣传费xi＝(单位：万元)(i＝1,2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)参考公式及数据：≈2.646，＝1.414，相关系数r＝，当|r|＞0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程y＝bt＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝－b.[解](1)由统计表中的数据和附注中的参考数据得＝4，∑(ti－)2＝28，＝0.55，则∑(ti－)(yi－)＝∑tiyi－∑yi＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r＝≈≈0.99，因为0.99＞0.75，所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系．(2)由＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103.a＝－b≈1.331－0.103×4≈0.92，所以y关于t的回归方程为y＝0.10t＋0.92.(3)当t＝8时，代入回归方程得y＝0.10×8＋0.92＝1.72(万件)，第8个月的毛利润为z＝10×1.72－≈17.2－2×1.414＝14.372(万元)．由14.372＜15，预测第8个月的毛利润不能突破15万元．19．(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝2，AC＝AA1＝2BC＝4，且D为线段AB的中点．(1)证明：BC⊥A1D．(2)求平面A1CD与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值．[解](1)证明：因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC．因为AB＝2，AC＝2BC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2，所以BC⊥AB．因为AB∩AA1＝A，所以BC⊥平面ABB1A1.又A1D⊂平面ABB1A1，所以BC⊥A1D．(2)以B为坐标原点，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，则C(0,0,2)，D(，0,0)，A1(2，4,0)．设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝4，则n＝(4，－，2)．易知平面BCC1B1的一个法向量为m＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝＝.故所求锐二面角的余弦值为.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的方程为y＝kx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|＋|OB|＝2，求k的值．[解](1)由(α为参数)，消去参数得其普通方程为x2－4x＋y2＋1＝0，由得曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋1＝0.(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ1，其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得ρ2－4ρcosθ1＋1＝0.设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，所以Δ＝16cos2θ1－4＞0，ρ1＋ρ2＝4cosθ1，ρ1ρ2＝1＞0，因为|OA|＋|OB|＝|ρ1|＋|ρ2|＝|ρ1＋ρ2|＝2，所以cosθ1＝±，满足Δ＞0，所以θ1＝或，即l的倾斜角为或，则k＝tanθ1＝或－.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－4a|＋|x|，a∈R.(1)若不等式f(x)≥a2对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围；(2)设实数m为(1)中a的最大值，若实数x，y，z满足4x＋2y＋z＝m，求(x＋y)2＋y2＋z2的最小值．[解](1)因为f(x)＝|x－4a|＋|x|≥|x－4a－x|＝4|a|，所以a2≤4|a|，解得－4≤a≤4.故实数a的取值范围为[－4,4]．(2)由(1)知，m＝4，即4x＋2y＋z＝4.根据柯西不等式(x＋y)2＋y2＋z2＝[(x＋y)2＋y2＋z2]·[42＋(－2)2＋12]≥[4(x＋y)－2y＋z]2＝，等号在＝＝z即x＝，y＝－，z＝时取得．所以(x＋y)2＋y2＋z2的最小值为.
