46分大题保分练(三)(建议用时:40分钟)17.(12分)(2020·岳阳二模)新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来,疫情防控牵挂着所有人的心.某市积极响应上级部门的号召,通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗,帮助全体市民深入了解新冠状病毒,增强战胜疫情的信心.为了检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度,该市推出了相关的知识问卷,随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查,并按年龄绘制频率分布直方图如图所示,把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为19∶21.其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面,“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2∶1.(1)求图中a,b的值;(2)现采取分层抽样在和中随机抽取8名市民,从8人中任选2人,求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少?(3)根据已知条件,完成下面的2×2列联表,并根据统计结果判断:能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识?了解全面了解不全面合计青少年人中老年人合计附表及公式:K2=,其中n=a+b+c+d.P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解](1)由题意得,解得.(2)由题意得在中抽取6人,在中抽取2人,从8人中任选2人,记事件A表示的是2人中至少有1人是“中老年人”,则P==.(3)由题意可得2×2列联表如下:了解全面了解不全面合计青少年人405595中老年人7035105合计11090200所以K2=≈12.157>10.828.所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识.18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=,=2an+1(n∈N*且n≥2).(1)证明:为等差数列;(2)求数列的前n项和Tn.[解](1)证明:依题意,由=2an+1,可得an=2anan+1+an+1,即an-an+1=2anan+1,两边同时除以anan+1,可得-=2(n≥2). -=3-1=2,也满足上式.∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)得,=1+2(n-1)=2n-1,则=(2n-1)·3n.∴Tn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n,3Tn=1×32+3×33+…+(2n-3)·3n+(2n-1)·3n+1,两式相减,可得-2Tn=3+2×32+2×33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1,=3+18×(1+3+32+…+3n-2)-(2n-1)·3n+1=3+18×-(2n-1)·3n+1=2(1-n)·3n+1-6.∴Tn=(n-1)·3n+1+3.19.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,侧面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2.(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;(2)过AC的平面交PD于点M,若平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分,求二面角PMCA的正弦值.[解](1)证明:因为∠BAP=90°,所以PA⊥AB,又侧面PAB⊥底面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊂平面PAB,所以PA⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又∠BCD=120°,四边形ABCD为平行四边形,所以∠ABC=60°,又AB=AC,所以△ABC为等边三角形,所以ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,又BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.(2)由平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分,知M为PD的中点.取BC的中点N,连接AN,由AB=AC知AN⊥BC.由(1)知PA⊥平面ABCD,以A为坐标原点,AN,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),PM=(0,1,-1),PC=(,1,-2).设平面MPC的法向向量为v1=(x1,y1,z1),则,可取v1=.设平面MAC的法向量为v2=(x2,y2,z2),则,可取v2=(1,-,).设二面角PMCA的大小为θ,则|cosθ|==,所以二面角PMCA的正弦值为.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心的极坐标为且经过极点的圆.(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;(2)已知射线θ=(ρ≥0)分别与曲线C1,...