46分大题保分练(四)(建议用时：40分钟)17．(12分)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ccosA＋3acosC＝0，tan(2019π＋2A)＝.(1)求tanC的大小；(2)若C为钝角且c＝，求△ABC的周长的取值范围．[解](1)因为ccosA＋3acosC＝0，所以sinCcosA＋3sinAcosC＝0.又cosAcosC≠0，所以tanC＝－3tanA．因为tan(2019π＋2A)＝，所以tan2A＝，所以＝，解得tanA＝或tanA＝－3.①若tanA＝，则tanC＝－3tanA＝－3×＝－；②若tanA＝－3，则tanC＝－3tanA＝－3×(－3)＝9.故tanC的值为－或9.(2)因为C为钝角，所以由(1)知tanC＝－，又因为0＜C＜π，所以C＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－＝(a＋b)2，当且仅当a＝b时取等号，所以(a＋b)2≤4，则a＋b≤2.又a＋b＞c＝，所以a＋b∈(，2]．所以△ABC的周长的取值范围是(2，2＋]．18．(12分)(2020·三明模拟)国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分(满分100分)，他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，并说明理由；(2)从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率．(参考数据：162＋142＋122＋52＋32＋72＋82＋162＋192＝1360，142＋112＋32＋22＋12＋22＋32＋62＋72＋132＝598)[解](1)甲城市的打分平均数为：＝79，乙城市的打分平均数为：＝79，则甲城市的打分的方差为：[2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2]＝136.乙城市的打分的方差为：[2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2]＝59.8.甲乙两城市的打分平均数相同，但是乙城市打分波动更小，故乙城市更应该入围“国家文明城市”．(2)由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．设事件A＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件B＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，则P(B|A)＝，因为P(A·B)＝×＝，P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(B|A)＝＝.19.(12分)如图几何体是圆柱体的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G为DF的中点．(1)设P是CE上一点，AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AD＝2，AB＝3时，求二面角EAGC的大小．[解](1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°.因此∠CBP＝30°.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，故AE＝(2,0，－3)，AG＝(1，，0)，CG＝(2,0,3)，设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量．由可得取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．由可得取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．所以cos〈m，n〉＝＝.因此所求的角为60°.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求C1，C2交点的直角坐标；(2)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．[解](1)曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，即曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x.联立两方程解得所以曲线C1，C2交点的直角坐标为和.(2)设B(ρ，θ)，则ρ＝2cosθ.因为A，O，B三点构成△AOB，所以－＜θ＜，且θ≠.所以△AOB的面积S＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝＝＝|2cos2θ－2sinθcosθ|＝|(cos2θ＋1)－sin2θ|＝.因为－＜θ＜，且θ≠，所以cos∈[－1,1]，且cos≠－，所以当cos＝1时，△AOB的面积S取得最大值，最大值为2＋.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x＋1|.(1)若f(x)＋2x＞2，求实数x的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)＋f(ax)(a＞1)，若g(x)的最小值为，求a的值．[解](1)由f(x)＋2x＞2，得|x＋1|＋2x－2＞0.当x≤－1时，－x－1＋2x－2＞0，无解；当x＞－1时，x＋1＋2x－2＞0，解得x＞.所以实数x的取值范围是.(2)由a＞1，得－1＜－.因为g(x)＝f(x)＋f(ax)＝|x＋1|＋|ax＋1|＝易知函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，则g(x)min＝g＝1－，∴1－＝，解得a＝2.
