专题限时集训(一)集合、常用逻辑用语平面向量与复数不等式算法与推理证明1．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．6C[点(4,4)，(3,5)，(2,6)，(1,7)符合题意，故选C．]2．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝()A．0B．C．1D．C[ z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C．]3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则¬p为()A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2nC[根据特称命题的否定为全称命题，知¬p：∀n∈N，n2≤2n，故选C．]4．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1C[由已知条件，可设z＝x＋yi. |z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．]5．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A．A∩B＝B．A∩B＝∅C．A∪B＝D．A∪B＝RA[由3－2x>0得，x<，则B＝，所以A∩B＝，故选A．]6．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入()A．A＝B．A＝2＋C．A＝D．A＝1＋A[对于选项A，A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A．故A正确；经验证B，C，D均不符合题意，故选A．]7．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A．AB－ACB．AB－ACC．AB＋ACD．AB＋ACA[ E是AD的中点，∴EA＝－AD，∴EB＝EA＋AB＝－AD＋AB.又知D为BC的中点，∴AD＝(AB＋AC)，因此EB＝－(AB＋AC)＋AB＝AB－AC，故选A．]8．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－bD[法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D．法二：不妨设a＝，b＝(1,0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D．]9．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A．B．C．D．B[设a与b的夹角为θ， (a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|·cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cosθ－|b|2＝0，∴cosθ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.故选B．]10．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4B[设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1： ＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2： z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3：设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i. z1≠2，∴p3不是真命题；对于p4： z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．故选B．]11．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1000和n＝n＋1B．A>1000和n＝n＋2C．A≤1000和n＝n＋1D．A≤1000和n＝n＋2D[本题求解的是满足3n－2n>1000的最小偶数n，判断循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件应输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为满足不等式的偶数解，因此中语句应为n＝n＋2，故选D．]12．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q；②¬p∨q；③p∧¬q；④¬p∧¬q.这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③D．③④A[法一：(...
