专题限时集训(三)三角函数的概念、图象与性质三角恒等变换与解三角形1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝()A.B.C．－D．－B[cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.]2．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|A[因为y＝sin|x|的图象如图1，知其不是周期函数，排除D；因为y＝cos|x|＝cosx，周期为2π，排除C；作出y＝|cos2x|的图象如图2，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出y＝|sin2x|的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A.图1图2图3]3．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin2α＝()A.B.C．－D．－D[法一：(公式法)cos＝，sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝－，故选D.法二：(整体代入法)由cos＝(sinα＋cosα)＝，得sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，即sin2α＝2sinαcosα＝－.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D[因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2＝cos.故选D.]5.(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A.B.C.D.C[由题图知，f＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝.故选C.]6．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4B.C.D．2A[因为cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，则AB＝4，故选A.]7．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.B.C.D．πA[法一：(直接法)f(x)＝cosx－sinx＝cos，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A.法二：(单调性法)因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象(图略)，可知有解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A.]8．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝()A.B.C.D.C[根据题意及三角形的面积公式知absinC＝，所以sinC＝＝cosC，所以在△ABC中，C＝.]9．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在单调递减D[A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．B项，由f＝cos＝cos3π＝－1，可知B正确；C项，由f(x＋π)＝cos＝－cos得f＝－cos＝0，故C正确．D项，由f＝cosπ＝－1可知，D不正确．]10．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝B[法一：由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin. α∈，β∈，∴α－β∈，－α∈，∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝.法二：tanα＝＝＝＝tan＝tan，∴α＝kπ＋，k∈Z，∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.]11．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π...
