专题限时集训(三)三角函数的概念、图象与性质三角恒等变换与解三角形1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－B．－2＋C．2－D．2＋D[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D．]2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B．C．1D．A[由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A．]3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sinD[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D．]4．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A．B．C．D．B[由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α. α∈，∴2sinα＝cosα.又 sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.又α∈，∴sinα＝.故选B．]5.(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A．B．C．D．C[由题图知，f＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝.故选C．]6．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A．B．C．D．πC[法一：f(x)＝cosx－sinx＝cos.当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C．法二：f′(x)＝－sinx－cosx＝－sin.于是，由题设得f′(x)≤0，即sin≥0在区间[0，a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋∈，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C．]7．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝()A．6B．5C．4D．3A[ asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.故选A．]8．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4B[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3×＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，最大值为4.]9．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝()A．B．C．D．B[因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sinA＝sinC．又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sinC＝sinA＝×＝.由A＝知C为锐角，故C＝.故选B．]10．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为()A．B．1C．D．A[法一(辅助角公式法)： f(x)＝sin＋cos＝＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＝sin，∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A．法二(角度转换法)： ＋＝，∴f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝sin≤.∴f(x)max＝.故选A．]11．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝()A．B．C．D．1B[由题可知cosα>0.因为cos2α＝2cos2α－1＝，所以cosα＝，sinα＝±，得|tanα|＝.由题意知|tanα|＝，所以|a－b|＝.]12．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝()A．B．C．D．C[因为S△ABC＝absinC，所以＝absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以tanC＝1.又因为C∈(0，π)，所以在△ABC中，C＝.故选C．]13．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.[因为α∈，且tanα＝＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝，cosα＝，则cos＝cosαcos...
