专题限时集训(四)数列1．(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝()A．2n－1B．2－21－nC．2－2n－1D．21－n－1B[法一：设等比数列{an}的公比为q，则由解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B．法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B．]2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97C[ 等差数列{an}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5.∴9a5＝27，a5＝3，又 a10＝8，∴d＝1,∴a100＝a5＋95d＝98，故选C．]3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8C[设公差为d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d＝24，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝48，联立，解得d＝4，故选C．]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A．B．C．10D．12B[ {an}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，∴8a1＋×1＝4×，解得a1＝，则a10＝＋9×1＝.故选B．]5．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C．D．A[由题意可得a＝a2·a8，即a＝(a4－4)(a4＋8)，解得a4＝8，∴a1＝a4－3×2＝2，∴Sn＝na1＋d＝2n＋×2＝n(n＋1)，故选A．]6．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2C[由题意知解得∴a3＝a1q2＝4.故选C．]7．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12B[法一：设等差数列{an}的公差为d， 3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1， a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．法二：设等差数列{an}的公差为d， 3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d. a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．]8．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2B．1C．D．C[法一：根据等比数列的性质，结合已知条件求出a4，q后求解． a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又 q3＝＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C．法二：直接利用等比数列的通项公式，结合已知条件求出q后求解． a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝，故选C．]9．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A．fB．fC．fD．fD[从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：()7·f＝f.故选D．]10．(2014·大纲版)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．3C[ 数列{an}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.∴lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1a2·…·a8)＝lg(a4a5)4＝4lg10＝4，故选C．]11．(2012·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为()A．B．C．D．A[设等差数列的公差为d，由题意可得，解得d＝1，a1＝1.所以等差数列的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，∴＝＝－，S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.]12．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.100[设等差数列{an}的公差为d，根据题意得，得，∴S10＝10a1＋d＝10×1＋×2＝100.]13．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.[法一：设等比数列的公比为q，由已知得S3＝a1＋a1q＋a1q2＝1＋q...
