专题限时集训(九)三角函数与解三角形1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sinC．[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.2．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解](1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC．可得cosC＝，所以C＝.(2)由已知得absinC＝.又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5(负值舍去)．所以△ABC的周长为5＋.3．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝.(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解](1)由已知得sin2A＋cosA＝，即cos2A－cosA＋＝0.所以＝0，cosA＝.由于0
