专题限时集训(十)数列1．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．[解](1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.2．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．[解](1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.故{an}的公比为－2.(2)记Sn为{nan}的前n项和．由(1)及题设可得，an＝(－2)n－1.所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n.所以Sn＝－.3．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．[解](1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.4．(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．[解](1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.1．(2020·安阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求数列{an＋bn}的前n项和．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，由a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34，得a2＋b2＝3＋d＋3q＝14，a3＋b3＝3＋2d＋3q2＝34，解得：d＝2，q＝3.∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝3n.(2) an＋bn＝(2n＋1)＋3n，∴{an＋bn}的前n项和为(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)＝＋＝n(n＋2)＋.2．(2020·潍坊模拟)已知等比数列{an}的首项a1＝2，且a2，a3＋2，a4成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝log2an，求数列的前n项和Tn.[解](1)等比数列{an}的首项a1＝2，公比设为q，a2，a3＋2，a4成等差数列，可得a2＋a4＝2(a3＋2)，即有2q＋2q3＝2(2q2＋2)，解得q＝2.则an＝a1qn－1＝2n.(2)bn＝log2an＝log22n＝n，则＝＝－，前n项和Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.3．(2020·吉林二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝－3，S6＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求使不等式Sn>an成立的n的最小值．[解](1)设等差数列{an}的公差为d， a2＝－3，S6＝0，∴a1＋d＝－3,6a1＋15d＝0.解得a1＝－5，d＝2.∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.(2)不等式Sn>an，即－5n＋×2>2n－7，等价于(n－1)(n－7)>0，解得n>7.∴使不等式Sn>an成立的n的最小值为8.4．(2020·淄博模拟)已知数列{an}满足a1＝，且an＝＋(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列{2nan}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解](1)证明：当n≥2时，由an＝＋，两边同时乘以2n，可得2nan＝2n－1an－1＋2，即2nan－2n－1an－1＝2(n≥2)． 21a1＝2×＝3，∴数列{2nan}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴2nan＝3＋2(n－1)＝2n＋1，∴an＝，n∈N*.(2)由(1)可知，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减，可得：Sn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－，∴Sn＝5－.1．已知...
