专题限时集训(十)数列1．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．[解](1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[解](1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.3．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．[解](1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．4．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．[解](1)设{an}的公比为q.由题设可得解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．1．(2020·安阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求数列{an＋bn}的前n项和．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，由a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34，得a2＋b2＝3＋d＋3q＝14，a3＋b3＝3＋2d＋3q2＝34，解得：d＝2，q＝3.∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝3n.(2) an＋bn＝(2n＋1)＋3n，∴{an＋bn}的前n项和为(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)＝＋＝n(n＋2)＋.2．(2020·潍坊模拟)已知等比数列{an}的首项a1＝2，且a2，a3＋2，a4成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝log2an，求数列的前n项和Tn.[解](1)等比数列{an}的首项a1＝2，公比设为q，a2，a3＋2，a4成等差数列，可得a2＋a4＝2(a3＋2)，即有2q＋2q3＝2(2q2＋2)，解得q＝2.则an＝a1qn－1＝2n.(2)bn＝log2an＝log22n＝n，则＝＝－，前n项和Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.3．(2020·吉林二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝－3，S6＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求使不等式Sn>an成立的n的最小值．[解](1)设等差数列{an}的公差为d， a2＝－3，S6＝0，∴a1＋d＝－3,6a1＋15d＝0.解得a1＝－5，d＝2.∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.(2)不等式Sn>an，即－5n＋×2>2n－7，等价于(n－1)(n－7)>0，解得n>7.∴使不等式Sn>an成立的n的最小值为8.4．(2020·淄博模拟)已知数列{an}满足a1＝，且an＝＋(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列{2nan}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解](1)证明：当n≥2时，由an＝＋，两边同时乘以2n，可得2nan＝2n－1an－1＋2，即2nan－2n－1an－1＝2(n≥2)． 21a1＝2×＝3，∴数列{2nan}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴2nan＝3＋2(n－1)＝2n＋1，∴an＝，n∈N*.(2)由(1)可知，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减，可得：Sn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－，∴Sn＝5－.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值为－9.(1)确定k的值，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1.[解](1)由已知得Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2，因为k∈N*，...
