专题限时集训(十四)导数1．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．[解](1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx
当x∈时，g′(x)＞0；当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．又g(0)＝0，g＞0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点．(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0
由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0
又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax
因此，a的取值范围是(－∞，0]．2．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2
(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0＜a＜3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．[解](1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；若a＜0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．(2)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在单调递减，在单调递增
