专题限时集训(十五)选考系列1．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解](1)因为－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为＝.当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.[选修4－5：不等式选讲](2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.[证明](1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝－(a2＋b2＋c2)＜0.(2)不妨设max{a，b，c}＝a，因为abc＝1，a＝－(b＋c)，所以a＞0，b＜0，c＜0.由bc≤，可得abc≤，故a≥，所以max{a，b，c}≥.2．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解](1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.[选修4－5：不等式选讲](2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．3．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．[解](1)由题设可得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.[选修4－5：不等式选讲](2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.[解](1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.1．[选修4－4：坐标系与参数方程](2020·福清模拟)已知曲线C1：x2＋(y－2)2＝4在伸缩变换下得到曲线C2，以原点为极点，x轴的正半轴...
