课时作业5三角恒等变换与解三角形[A·基础达标]1．已知cos＝－，则cos2α的值为()A．－B.C．－D.2．满足条件a＝4，b＝3，A＝45°的三角形的个数是()A．1B．2C．无数个D．不存在3．已知△ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边为a、b、c，若a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形4．已知锐角α，β满足cosα＝，sin(α－β)＝－，则sinβ的值为()A.B.C.D.5.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，发现A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测得B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A．20海里B．40海里C．20(1＋)海里D．40海里6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝2，A＝，则△ABC的面积为________．7．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.9．[2020·沈阳市教学质量监测]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA＝sinB，sin2A＝sinA.(1)求A及a；(2)若b－c＝2，求b，c.10．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[B·素养提升]1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为()A．(0,4)B．[2,4)C．[1,4)D．(2,4]2．在△ABC中，AC·AB＝|AC－AB|＝3，则△ABC面积的最大值为()A.B.C.D．33．[2020·海南模拟]顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图，△ABC是黄金三角形，AB＝AC，作∠ABC的平分线交AC于点D，易知△BCD也是黄金三角形．若BC＝1，则AB＝________；借助黄金三角形可计算sin234°＝________.4．[2020·合肥第一次教学检测]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAsinBcosC＝sin2C，则＝________，sinC的最大值为________．5．[2020·江苏卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值．6.如图，我国海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东14海里处．(1)求此时该外国船只与D岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8)课时作业5三角恒等变换与解三角形[A·基础达标]1．解析：因为cos＝－，所以sinα＝，则cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.答案：B2．解析：由正弦定理得sinB＝＝， ＜＜，∴45°＜B＜60°或120°＜B＜135°，均满足A＋B＜180°，∴B有两解，满足条件的三角形的个数是2，故选B.答案：B3．解析： 内角A、B、C成等差数列，∴A＋C＝2B.又A＋B＋C＝π.∴B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac.又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝，∴△ABC为等边三角形；选B.答案：B4．解析： α是锐角，β是锐角，cosα＝，sin(α－β)＝－，∴sinα＝，cos(α－β)＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝×－×＝.故选A.答案：A5．解析：连接AB.(图略)由题意可知CD＝40海里，∠ADB＝60°，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°.在△ACD中，由正弦定理，得＝，∴AD＝20(海里)，在Rt△BCD中， ∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝CD＝×40＝40(海里)．在△ABD中，由余弦定理，得AB＝＝20(海里)．答案：A6．解析：由正弦定理得sinB＝＝＝， b＜a，∴B＜A，∴cosB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝，∴△ABC的面积为absinC＝.答案：7．解析： ＝＝3，∴tanα＝2. tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－＝.答案：8．解析：因为2bcosB＝acosC＋ccosA，所以由正弦定理得2sin...
