2024-2024年学校奥数《立体图形的计算》经典专题点拨教案【表面积的计算】例1一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。（1988年北京学校数学奥林匹克邀请赛试题）讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。所以，60块长方体的表面积之和是（1×1）×24＝24（平方米）。例2图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。求这个立体图形的外表面积。（北京市第一届“迎春杯”学校数学竞赛试题）讲析：假如按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。于是，我们可采纳按不同的方一直观察的方法去计算。俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。【体积的计算】例1一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。故可设正方即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。例2在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5.72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。（北京市第二届“迎春杯”学校数学竞赛试题）。讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。所以，打孔后剩下部分的体积是4×4×4—10=54（立方厘米）。例3一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余部分中再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？（北京市第八届“迎春杯”学校数学竞赛试题）讲析：解本题的关键，是要想到每次以哪个边长作棱长去切下正方体。实际上，我们可以将三个数轮换相减，即，在三个数21、15、12中，第一次取最小数12为棱长切下一个正方体；第二次取大数与小数的差21—12=9为棱长切下一个正方体；第三次取15与9的差为棱长切下一个正方体（如图5.73）所以，剩下的体积是21×15×12-（123+93+63)=107（立方厘米）。附送：2024-2024年学校奥数《等分图形》经典专题点拨教案【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。等分后的情况见图4.13和图4.14。积是图4.12的正方形面积是【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。
