第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.记函数f(x)的导数为f'(x),若f(x)对应的曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程为y=-x+1,则()A.f'(x0)=2B.f'(x0)=1C.f'(x0)=0D.f'(x0)=-1答案D由函数在某一点处的导数的几何意义知f'(x0)=-1.2.已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f'=()A.-B.-C.-D.-答案C f(x)=cosx,∴f'(x)=-cosx+·(-sinx),∴f(π)+f'=-+·(-1)=-.3.曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为()A.y=3x-1B.y=-3x-1C.y=3x+1D.y=-3x+1答案A由题意得y'=(x+1)ex+2,则曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1.4.已知f(x)=x(2016+lnx),若f'(x0)=2017,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e答案Bf'(x)=2016+lnx+x·=2017+lnx,由f'(x0)=2017,得2017+lnx0=2017,则lnx0=0,解得x0=1.5.若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=()A.B.2C.D.2答案B依题意,设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0,对于y=2lnx+1,易知y'=,则有y'=,于是有解得x0=,a=2,选B.6.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=()A.-1B.0C.2D.4答案B由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,∴f'(3)=-. g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)=f(3)+3f'(3),又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×=0.7.已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析由题意可知f'(x)=a-,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.8.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为.答案解析函数f(x)=ex-mx+1的导函数为f'(x)=ex-m,要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则需ex-m=-有解,即m=ex+有解,由ex>0,得m>,则实数m的取值范围为.9.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.解析(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,所以过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得x∈(1,3)∪(-∞,2-]∪[2+,+∞).10.已知函数f(x)=ax2-bx(a>0)和g(x)=lnx的图象有公共点P,且在点P处的切线相同.(1)若点P的坐标为,求a,b的值;(2)若a=b,求切点P的坐标.解析f'(x)=2ax-b,g'(x)=.(1)由题意得f=-=-1,①且f'=g',即-b=e,②由①②得a=2e2,b=3e.(2)若a=b,则f'(x)=2ax-a,设切点P的坐标为(s,t),其中s>0,由题意得as2-as=lns,③2as-a=,④由④得a=,其中s≠,代入③得=lns.⑤因为a=>0,且s>0,所以s>.设函数F(x)=-lnx,x∈,则F'(x)=.令F'(x)=0,解得x=1或x=(舍).当x变化时,F'(x)与F(x)的变化情况如下表所示:x1(1,+∞)F'(x)+0-F(x)↗极大值↘所以当x=1时,F(x)取得最大值,为F(1)=0,所以方程⑤有且仅有一个解s=1.于是t=lns=0,因此切点P的坐标为(1,0).B组提升题组11.函数f(x)=的图象在点(1,-2)处的切线方程为()A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.x-y-3=0D.x+y+1=0答案Cf'(x)=,则f'(1)=1,故函数f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.12.已知函数f(x)=ex-2ax,g(x)=-x3-ax2.若不存在x1,x2∈R,使得f'(x1)=g'(x2),则实数a的取值范围为()A.(-2,3)B.(-6,0)C.[-2,3]D.[-6,0]答案D依题意知函数f'(x)与g'(x)值域的交集为空集, f'(x)=ex-2a>-2a,g'(x)=-3x2-2ax≤,∴≤-2a,解得-6≤a≤0.13.已知f(x)=acosx,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.2答案C依题意得,f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,f'(0)=g'(0),∴-asin0=2×0+b,故b=0, m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,选C.14.曲线y=alnx(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a=.答案8解析令f(x)=y=alnx,则f'(x)=,∴在x=1处的切线的斜率为a, f(1)=aln1=0,故切点为(1,0),∴切线方程为y=a(x-1),令y=0,得x=1...
