第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共6页四、微分及其应用（一）微分概念1．微分的定义设函数y=f(x）在某区间I内有定义，。若函数的增量其中A是不依赖的常数，则称y=f(x）在点x0可微分，叫做y=f(x）在点x0相应于自变量增量的微分，记作dy，即函数y=f（x）劝在点x的微分称为函数y=f(x）的微分，记作dy或df(x)。2．函数可微分的充分必要条件函数y=f（x）在点x0可微分的充分必要条件是f(x）在点x0可导，且当f(x)在点xo可导时，其微分一定是函数的微分是通常把称为自变量的微分，记作dx，即于是函数的微分可写成而导数可写成即导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx之商。（二）基本微分公式与微分法则1．基本微分公式第2页共6页第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共6页2．函数和、差、积、商的微分法则设函数u=u(x）、v＝v(x）均可微，则3．复合函数的微分法则设、均可微，则也可微，且（三）微分的应用由微分的定义可知，当且很小时，有于是可得几个工程上常用的近似公式（假定比较小）:第3页共6页第2页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共6页（四）例题【例1-2-29】［解］【例1-2-30】［解］【例1-2-31】计算sin30°30`的近似值。【解】把sin30°30`化为弧度，得【例1-2-32】计算的近似值。第4页共6页第3页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共6页五、中值定理与导数的应用（一）中值定理1．若函数f(x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且f(a)=f(b)，则至少有一点ξ∈（a，b)，使得f'(ξ）＝0。2．拉格朗日中值定理若函数f(x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a,b）内可导，则至少有一点ξ∈（a，b)，使得下式成立（二）求未定式的值的方法―罗必塔法则1．未定式与的情形关于要的情形：设（1)当x→a（或x→∞）时，f（x）→0且F(x)→0,(2)在点a的某去心邻域内（或当｜X｜>N时）,f'(x）及F'(x）都存在且F'（x）0,第5页共6页第4页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共6页则若仍属型，且f'(x）、F'（x）满足上述三个条件，则可继续运用罗必塔法则，即对于型，也有相应的罗必塔法则，这里不再赘述。2．其他形式的未定式的情形其他尚有0·、-、00、1、0型的未定式，它们均可通过变形化成或的情形。如0·型可变形成或，-型通过通分，00、1、0通过取对数变形。（三）函数性态的判别1．函数单调性的判定利用一阶导数的符号判定，如表1-2-1所示。2．函数极值的判定利用一阶导数判定，如表1-2-2所示。利用二阶导数判定，如表1-2-3所示。3．曲线凹、凸及其拐点的判定利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表1-2-4所示。连续曲线y=f(x）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果f"（x0）=0,而f"(x）在x0的左右两侧邻近异号，则点（x0，f(xo)）就是一个拐点。4．曲线的渐近线第6页共6页第5页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第6页共6页若=y0，则曲线y=f(x）有水平渐近线y=y0;若=,则曲线y＝f(x)有铅直渐近线x=x0；（四）最大值最小值问题设f(x）在闭区间[a,b]上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的一般方法：设f(x）在（a,b）内的驻点及不可导点为x1，…,xn，则比较的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。
