第2讲不等式的证明[基础题组练]1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，求证：＋≥4.证明：由是3a与3b的等比中项得3a·3b＝3，即a＋b＝1，要证原不等式成立，只需证＋≥4成立，即证＋≥2成立，因为a＞0，b＞0，所以＋≥2＝2，(当且仅当＝，即a＝b＝时“，”＝成立)，所以＋≥4.2．…求证：＋＋＋＋＜2.证明：因为＜＝－，…所以＋＋＋＋＜1…＋＋＋＋＋＝1…＋＋＋＋＝2－＜2.3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.(1)求f(x)<2的解集；(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤T.解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝＝，其图象如图，由图象可知：f(x)<2的解集为.(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1，由基本不等式可知≤＝＝，当且仅当a＝b时“，”＝成立，即＋≤1＝T.4．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：＜；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小．解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0解得－＜x＜，即M＝，所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝.(2)由(1)得a2＜，b2＜，因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，故|1－4ab|2＞4|a－b|2，即|1－4ab|＞2|a－b|.[综合题组练]1．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；(2)求证：＋＋≥2.证明：(1)要证2ab＋bc＋ca＋≤，只需证1≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，即证1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≥0，而1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝(a＋b＋c)2－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，所以2ab＋bc＋ca＋≤.(2)因为≥，≥，≥，所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．2．(2019·新疆自治区适应性检测)设函数f(x)＝|2x＋1|－|2x－4|，g(x)＝9＋2x－x2.(1)解不等式f(x)>1；(2)证明：|8x－16|≥g(x)－2f(x)．解：(1)当x≥2时，f(x)＝2x＋1－(2x－4)＝5>1恒成立，所以x≥2.当－≤x<2时，f(x)＝2x＋1－(4－2x)＝4x－3>1，得x>1，所以11不成立．综上，原不等式的解集为(1，∞＋)．(2)证明：|8x－16|≥g(x)－2f(x)⇔|8x－16|＋2f(x)≥g(x)，因为2f(x)＋|8x－16|＝|4x＋2|＋|4x－8|≥|(4x＋2)－(4x－8)|＝10，当且仅当－≤x≤2时等号成立，所以2f(x)＋|8x－16|的最小值是10，又g(x)＝－(x－1)2＋10≤10，所以g(x)的最大值是10，当x＝1时等号成立．因为1∈，所以2f(x)＋|8x－16|≥g(x)，所以|8x－16|≥g(x)－2f(x)．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f(x)＝m－|x－1|，m∈R，且f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m的值；(2)若a，b，c为正数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥3.解：(1)由f(x＋2)＋f(x－2)≥0得，|x＋1|＋|x－3|≤2m，设g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则g(x)＝数形结合可得g(－2)＝g(4)＝6＝2m，得m＝3.(2)证明：由(1)得＋＋＝3.由柯西不等式，得(a＋2b＋3c)≥＝32，所以a＋2b＋3c≥3.4．(综合型)(2019·陕西省质量检测(一))已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t.解：(1)依题意，得f(x)＝所以f(x)≤3⇔或或解得－1≤x≤1，即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，所以M＝[3，∞＋)．t2＋1－3t－＝＝，因为t∈M，所以t－3≥0，t2＋1>0，所以≥0，所以t2＋1≥＋3t.
