易错点13利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最...VIP免费

第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共6页【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）例13、等差数列的首项，前n项和，当时，。问n为何值时最大?【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知=此函数是以n为变量的二次函数，因为，当时，故即此二次函数开口向下，故由得当时取得最大值，但由于，故若为偶数，当时，最大。当为奇数时，当时最大。【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由知数列中的点是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和所对应的数列必为一等比数列的前n项和。【练13】（2001全国高考题）设是等差数列，是前n项和，且，，则下列结论错误的是（）A、B、C、D、和均为的最大值。答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。例14、已知关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，求的值。【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程第2页共6页第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共6页的另一根是此等差数列的第四项，而方程的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：故从而=。【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列{an}，若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；对于等比数列{an}，若n+m=u+v，则an⋅am=au⋅av；若数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，k∈N¿，那么Sk，S2k−Sk，S3k−S2k成等比数列；若数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，k∈N¿，那么Sk，S2k−Sk，S3k−S2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。【练14】（2003全国理天津理）已知方程和的四个根组成一个首项为的等差数列，则=（）A、1B、C、D、答案：C【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况例15、数列{an}中，，，数列{an⋅an+1}是公比为q（q>0）的等比数列。（I）求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范围；（II）求数列{an}的前2n项的和S2n．【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列{an⋅an+1}是公比为q（q>0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：（I） 数列{an⋅an+1}是公比为q的等比数列，∴an+1an+2=anan+1q，an+2an+3=anan+1q2，由anan+1+an+1an+2>an+2an+3得anan+1+anan+1q>anan+1q2⇒1+q>q2，即q2−q−1<0（q>0），解得0