第4讲直接证明与间接证明[基础题组练]1．(2019·衡阳示范高中联考(二))用反证法证明某命题时，“对结论：自然数a，b，c”中恰有一个是偶数的正确假设为()A．自然数a，b，c中至少有两个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数解析：选B.“自然数a，b，c”中恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a，b，c均为奇数或自然数a，b，c”中至少有两个偶数．2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是()A．x2>2B．x2>4C．x2>0D．x2>1解析：选C.因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，显然x2>0成立，故原不等式成立．3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是()A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b解析：选A.因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋＞＋＞＋＞0，所以a＞b＞c.4．在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选C.由sinAsinC＜cosAcosC得cosAcosC－sinAsinC＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，从而B＞，故△ABC必是钝角三角形．5．“用反证法证明命题若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．“解析：x≠a且x≠b”“的否定是x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b.答案：x＝a或x＝b6．(2019·福州模拟)如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________．解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b7．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.8．已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.因为BC∥AD，BC⊄平面SAD.所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，所以平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立．所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.[综合题组练]1．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d“；运算⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)“”；运算⊕为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)，则(1，2)⊕(p，q)＝()A．(4，0)B．(2，0)C．(0，2)D．(0，－4)解析：选B.由(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)得⇒所以(1，2)⊕(p，q)＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)
