二次函数的图象与性质重点题型-基础VIP免费

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐对称标轴函数变化最大（小）值y=ax2a＞0向上（0，0）y轴x＞0时，y随x当x=0增大而增大；时，y最小=0x＜0时，y随x增大而减小.y=ax2a＜0向下（0，0）y轴x＞0时，y随x当x=0增大而减小；时，y最大=0x＜0时，y随x增大而增大.要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.要点二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）a0j（2）a0jjj2.二y=ax2+c(a2次函数≠0)的图象的性质关于二次函数yaxc(a0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数yax2c(a0,c0)yax2c(a0,c0)图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而减小.当x0时，y随x的增大而增大.最大（小）当x0时，y最小值c值当x0时，y最大值c【典型例题】类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．(2014秋•青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m）（1）求a，m的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．【思路点拨】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1即可求出未知数的值；（2）把a代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P（1，m）在y=2x﹣1的图象上∴m=2×1﹣1=1代入y=ax2∴a=1（2）二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．举一反三：【变式1】二次函数yax与y2x的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则22a．【答案】2.【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）．...