专题能力训练7利用导数解不等式及参数的取值范围专题能力训练第20页一、能力突破训练1
设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R
(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围
解:(1)由f'(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞)
则g'(x)=1x-2a=1-2axx,若a≤0,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;若a>0,则当x∈(0,12a)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,当x∈(12a,+∞)时,函数g(x)单调递减
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)的单调增区间为(0,12a),单调减区间为(12a,+∞)
(2)由(1)知,f'(1)=0
①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)0,f(x)单调递增
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意
②当012时,01),m'(k)=ek-2>e-2>0,则m(k)在区间(1,+∞)内递增,则m(k)≥m(1)=e-2>0,即f'(k)>0,由零点存在性定理知f'(x)在区间(0,k)内有一个零点,设为x2;于是,当x∈(-∞,x1)时,f'(x)>0,f(x)递增;当x∈(x1,x2)时,f'(x)0,f(x)递增;故此时函数f(x)有两个极值点
已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)
(1)设a=2,b=12
①求方程f(x)=2的根
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值
(2)若00,所以m≤(f(x
