专题能力训练14立体几何中的向量方法专题能力训练第34页一、能力突破训练1.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=23HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.解:依题意,OF⊥平面ABCD,如图,以O为原点,分别以⃗AD,⃗BA,⃗OF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)证明:依题意,⃗AD=(2,0,0),⃗AF=(1,-1,2).设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,则{n1·⃗AD=0,n1·⃗AF=0,即{2x=0,x-y+2z=0.不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又⃗EG=(0,1,-2),可得⃗EG·n1=0,又因为直线EG⊄平面ADF,所以EG∥平面ADF.(2)易证⃗OA=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,⃗EF=(1,1,0),⃗CF=(-1,1,2).设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量,则{n2·⃗EF=0,n2·⃗CF=0,即{x+y=0,-x+y+2z=0.不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos<⃗OA,n2>=⃗OA·n2|⃗OA|·|n2|=-√63,于是sin<⃗OA,n2>=√33.所以,二面角O-EF-C的正弦值为√33.(3)由AH=23HF,得AH=25AF.因为⃗AF=(1,-1,2),所以⃗AH=25⃗AF=(25,-25,45),进而有H(-35,35,45),从而⃗BH=(25,85,45),因此cos<⃗BH,n2>=⃗BH·n2|⃗BH|·|n2|=-√721.所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为√721.2.(2019北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC=13.(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且PGPB=23,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.(1)证明因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.(2)解过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).所以⃗AE=(0,1,1),⃗PC=(2,2,-2),⃗AP=(0,0,2).所以⃗PF=13⃗PC=23,23,-23,⃗AF=⃗AP+⃗PF=23,23,43.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗AE=0,n·⃗AF=0,即{y+z=0,23x+23y+43z=0.令z=1,则y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0),所以cos=n·p|n||p|=-√33.由题知,二面角F-AE-P为锐角,所以其余弦值为√33.(3)解直线AG在平面AEF内.因为点G在PB上,且PGPB=23,⃗PB=(2,-1,-2),所以⃗PG=23⃗PB=43,-23,-43,⃗AG=⃗AP+⃗PG=43,-23,23.由(2)知,平面AEF的法向量n=(-1,-1,1).所以⃗AG·n=-43+23+23=0.所以直线AG在平面AEF内.3.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF⏜的中点.(1)设P是CE⏜上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.解:(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)(方法一)取EC⏜的中点H,连接EH,GH,CH.因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC=√32+22=√13.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM=√13-1=2√3.在△BEC中,由于∠EBC=120°,由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12,所以EC=2√3,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.(方法二)以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,√3,3),C(-1,√3,0),故⃗AE=(2,0,-3),⃗AG=(1,√3,0),⃗CG=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量.由{m·⃗AE=0,m·⃗AG=0,可得{2x1-3z1=0,x1+√3y1=0.取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-√3,2).设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量.由{n·⃗AG=0,n·⃗CG=0,可得{x2+√3y2=0,2x2+3z2=0.取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-√3,-2).所以cos=m·n|m||n|=12.因此所求的角为60°.4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的...
