专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线专题能力训练第38页一、能力突破训练1.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28−y210=1B.x24−y25=1C.x25−y24=1D.x24−y23=1答案:B解析:由题意得ba=√52,c=3.因为a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24−y25=1.2.已知以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.若|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案:B解析:不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4√2,所以可设A(m,2√2).又因为|DE|=2√5,所以{R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.3.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√22xD.y=±√32x答案:A解析: e=ca=√3,∴c2a2=b2+a2a2=(ba)2+1=3.∴ba=√2. 双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±bax,∴渐近线方程为y=±√2x.4.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24−y212=1B.x212−y24=1C.x23−y29=1D.x29−y23=1答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-0|√a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23−y29=1.故选C.5.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若⃗OP=m⃗OA+n⃗OB(m,n∈R),且mn=29,则该双曲线的离心率为()A.3√22B.3√55C.3√24D.98答案:C解析:在y=±bax中,令x=c,得A(c,bca),B(c,-bca).在双曲线x2a2−y2b2=1中,令x=c,得P(c,±b2a).当点P的坐标为(c,b2a)时,由⃗OP=m⃗OA+n⃗OB,得{c=(m+n)c,b2a=mbca-nbca,则{m+n=1,m-n=bc.由{m+n=1,mn=29,得{m=23,n=13或{m=13,n=23(舍去),∴bc=13,∴c2-a2c2=19,∴e=3√24.同理,当点P的坐标为(c,-b2a)时,e=3√24.故该双曲线的离心率为3√24.6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案:2解析: 四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴ba=1,即a=b. |OB|=2√2,∴c=2√2.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(2√2)2,可得a=2.7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.答案:2√33解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b. ∠MAN=60°,∴|AP|=√32b,|OP|=√|OA|2-|PA|2=√a2-34b2.设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ,则tanθ=|AP||OP|=√32b√a2-34b2. tanθ=ba,∴√32b√a2-34b2=ba,解得a2=3b2,∴e=√1+b2a2=√1+13=2√33.8.如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由{y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0.由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知,点B,O关于直线PD对称,所以{y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得{x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点B的坐标为(2t1+t2,2t21+t2).(2)由(1)知|AP|=t·√1+t2和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=t2√1+t2.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|·d=t32.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|P...
