专题能力训练18排列、组合与二项式定理专题能力训练第42页一、能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案:B解析:完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有A55=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有A44=24种不同的排法.所以共有A55+4A44=216种不同的排法.2.已知(x2+1x)n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为()A.5B.40C.20D.10答案:D解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则C5r(x2)5-r·(1x)r=C5rx10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为C52=10.3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案:D解析:由条件知Cn3=Cn7,解得n=10.所以(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.若(x6+1x√x)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:展开式的通项为Tr+1=Cnr(x6)n-r(1x√x)r=Cnrx6n-152r.因为展开式中含常数项,所以6n-152r=0成立,即n=54r.当r=4时,n有最小值5.故选C.5.(x2+1x2-2)3展开式中的常数项为()A.-8B.-12C.-20D.20答案:C解析:因为(x2+1x2-2)3=(x-1x)6,所以Tr+1=C6rx6-r(-1x)r=(-1)rC6rx6-2r,所以当r=3时为常数项,且常数项为-C63=-20.6.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加.若甲、乙同时参加,他们的演讲顺序不能相邻,则不同的演讲顺序的种数为()A.1860B.1320C.1140D.1020答案:C解析:根据甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C21·C63·A44=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C22·C62·A22·A32=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140.故选C.7.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则ba+ab的最小值为()A.2B.52C.136D.92答案:B解析:令x=1,a=2n;令x=-1,b=4n,则ba+ab=2n+12n.令t=2n,t≥2,则ba+ab=2n+12n=t+1t≥2+12=52.故选B.8.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1200B.2400C.3000D.3600答案:B解析:若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是C51C53A44=1200;若4人中,有甲电视台记者两人,乙电视台记者两人,则不同的提问方式总数是C52C52A22A32=1200;若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案:C解析: (1+x)6展开式的通项为Tr+1=C6rxr(r=0,1,2,…,6),(1+y)4展开式的通项为Th+1=C4ℎyh(h=0,1,2,…,4),∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6rC4ℎxryh,∴f(m,n)=C6mC4n.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故选C.10.本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表.若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在最后,则不同的排法共有()A.72种B.144种C.288种D.360种答案:B解析:第一步,排语文、英语、化学、生物4种,且化学排在生物前面,有A442=12种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空当中的2个,有A42=12种排法,所以不同的排法共有12×12=144种.11.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案:-20解析:(x+y)8的通项为Tr+1=C8rx8-ryr(r=0,1,…,8).当r=7时,T8=C87xy7=8xy7,当r=6时,T7=C86x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.12....
