由数列的递推公式求通项公式的求解策略VIP免费

由数列递推公式求通项公式的求解策略一般地，如果已知数列的第１项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．由递推公式给出的数列，称之为递推数列．等差、等比数列实际上就是最简单的递推数列．求递推数列的通项的方法较为灵活，本文归纳涉及递推数列的常用解题方法及技巧。一、直接构成等差等比数列例1．已知数列递推公式，求数列通项公式。二、迭加法（或迭乘法）：当递推关系为时，要求通项公式时，我们常通过（或）的变形来求出，此方法叫迭加法（或迭乘法）例题5：已知正数数列满足，求.三、迭代法：当数列的递推关系为可以是常数，也可以是关于n的函数式），通过的一步步迭代可求出通项公式，具体做法为：例6、已知数列的前n项和，满足（1）写出数列的前三项（2）求数列的通项公式四、用求解：数列的前n项和与的隐含关系为，利用这个关系揭示与的关系或与的关系，使数列化归为两个基本的数列求解例7、为数列的前n项和，且，首项（1）若，求证：数列为等比数列（2）、设，求证：数列为等比数列（3）、求数列的通项公式及前n项和公式五、构造新的辅助等差等比数列求通项：当数列的递推关系为或或时往往可以将其转化为一个新的等差数列或等比数列，然后再依次求出有关的通项公式。或待定系数法的渗透对于形如、、（是常数）等递推式求通项类型的试题，在高考中出现的频率最高，在每年的各省市高考卷中都能找到其身影，而且其解题的方法众多，其中待定系数法不失一种简洁的方法。例8（2006年全国Ⅰ卷）在数列中，，。求首项与通项。分析：由题意得，解得。又，即，设，利用待定系数法可得，又，所以数列是公比为4的等比数列。所以，得。取倒数不动点法：对于形如的递推式求解通项，可利用特征方程，若此方程有两不相等的实根，则可构造数列等比，若此方程有两相等的实根，则可构造等差数列，从而解得的表达式。，求数列的通项公式。析：两边同除以的系数的n+1次方，构造新数列。六.归纳、猜想、证明求通项（需用到数学归纳法），，下面用数学归纳法证明猜的正确性:＝，＝，也就是说对n=k+1时，猜想正确。综上（i）(ii)可知，说明：由递推关系式可以求出数列前几项，由这几项先猜想其通项公式，最后用数学归纳法证明其正确性。因为数列通项公式是与自然数n有关问题，所以用数学归纳法证明。由数列递推关系式求通项，一般可以用此法。七、不动点的渗透在几年高考试卷中，不动点的知识应用频率非常高，对于形如的递推式求解通项，可利用特征方程，若此方程有两不相等的实根，则可构造数列等比，若此方程有两相等的实根，则可构造等差数列，从而解得的表达式。例13（2006年全国Ⅱ卷）设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。分析：易得，且，将代入上式，得，利用特征方程解得，可构造，则，且，所以数列是公差为的等差数列。故，所以，因此数列的通项公式为。