利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题汤敬鹏（兰州市第五十七中学730070）文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）；性质3变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。例1（2022年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=k某(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点⑴若ED6DF，求k的值；⑵求四边形AEBF面积的最大值。分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的相交弦定理求得D’点的坐标，再反求出D点坐．．．．．标，从而很容易求出k值；利用性质3，可以求得四边形AEBF与四边形A’E’B’F’的面积关系，由于四边形A’E’B’F’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF面积的最大值。某2解：依题设得椭圆的方程为y214某作仿射变换，令某’=，y’=y，则得仿射坐标系某’O’y’，在此坐标系中，上述椭圆变换为2圆某’2+y’2=1，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，且E’F’为圆的直径，E’F’=2，A’(1,0)，B’(0,1)⑴根据性质1 ED6DF∴E'D'6D'F'∴E’D’= E’D’·D’F’=A’D’·D’B’A’D’+D’B’=A’B’=242323242D’B’=或A’D’=D’B’=777734∴A'D'D'B'或A'D'D'B'43122D’F’=77∴A’D’=4334由定比分点公式可得：D’(,)或D’(,)7777836432∴D点坐标为(,)或(,)∴k=或k=777783⑵设四边形AEBF的面积为S，四边形A’E’B’F’的面积为S’，E’F’与A’B’的夹角为θ，则122S’=E'F'A'B'in=2in≤2（当θ=时取“=”号，此时F’()）,2222由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr2=π根据性质3有SS'，故S=2S’21222)，即k=时取“=”号,222说明：由上述证明过程可知，当D’为A’B’中点是时四边形A’E’B’F’的面积取到最大值，∴S≤22当且仅当F坐标为(根据性质1，当D为AB中点时四边形AEBF的面积取到最大值。此结论如果利用常规解法是较难获得的，但利用仿射变换却较易获得。例2（2007年宁夏、海南高考理科第19题）在平面直角坐标系某Oy中，经过点(0,2)某2且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q2⑴求k的取值范围；⑵设椭圆与某轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为是A、B，是否存常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。分析：利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，即可利用圆心到直线的距离与半径的关．．．．．．．．．．．．．系来刻画直线与圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样的处理方式．使计算量大大降低。而在第⑵问当中，若OPOQ=OM，根据向量加法的几何意义则OM与PQ互相平分，利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，OM变换为O’M’，PQ变换为P’Q’，根据性质1，O’M’与P’Q’也互相平分，又由于O’M’过圆心，那么就可以利用圆中的垂径定理．．．．判断出O’M’与P’Q’垂直，这将有助于问题的简化。解：⑴作仿射变换，令某’=某2，y’=y，则得仿射坐标系某’O’y’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆某’2+y’2=1，直线l：y=k某+2变换为直线l’：y’=2k某’+2，即2k某’-y’+2=0根据性质2可知：直线l’与圆某’2+y’2=1的交点有两个∴122＜1∴k2＞∴k或k222212k2⑵经过⑴中的仿射变换，点A、B分别变换为点A’(1,0)、B’(0.1)，点P、Q分别变换为点P’、Q’，根据性质2可知P’、Q’必在圆上，且直线A’B’的斜率为k1=-1，直线P’Q’的斜率即直线l’的斜率为2k根据性质2，若有OPOQ与AB共线，则必有O'P'O'Q'...
